Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: -4-3i У меня получилось z = 5(cos(...

Давайте разберем, как записать комплексное число (-4 - 3i) в стандартной тригонометрической форме, которая имеет вид:

[ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) ]

где (r) — модуль комплексного числа, а (\varphi) — аргумент.

1. Найдем модуль (r):

Модуль комплексного числа (z = a + bi) вычисляется по формуле:

[ r = \sqrt{a^2 + b^2} ]

В нашем случае (a = -4) и (b = -3):

[ r = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

1. Найдем аргумент (\varphi):

Аргумент комплексного числа можно найти с помощью:

[ \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) ]

Здесь (b = -3) и (a = -4):

[ \varphi = \arctan\left(\frac{-3}{-4}\right) = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) ]

Однако важно учесть, что комплексное число (-4 - 3i) находится в третьем квадранте (где как действительная, так и мнимая часть отрицательные). Следовательно, нужно добавить (\pi) к вычисленному значению аргумента:

[ \varphi = \pi + \arctan\left(\frac{3}{4}\right) ]

Теперь мы можем записать комплексное число в тригонометрической форме. Подставим (r) и (\varphi):

[ z = 5\left(\cos\left(\pi + \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) + i \sin\left(\pi + \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)\right) ]

Таким образом, ваша запись была почти правильной, но вместо (-\pi) нужно использовать (\pi) при учете третьего квадранта. Правильная форма будет:

[ z = 5\left(\cos\left(\pi + \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) + i \sin\left(\pi + \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)\right) ]

Итак, корректная тригонометрическая форма для вашего комплексного числа (-4 - 3i) — это:

[ z = 5\left(\cos\left(\pi + \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) + i \sin\left(\pi + \arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right)\right) ]

Давайте разберём ваш ответ и проверим его на корректность. Чтобы записать комплексное число в стандартной тригонометрической форме, нужно правильно определить его модуль и аргумент.

Комплексное число:

Дано ( z = -4 - 3i ).

1. Нахождение модуля числа:

Модуль ( r ) вычисляется по формуле: [ r = \sqrt{x^2 + y^2}, ] где ( x ) — действительная часть, а ( y ) — мнимая часть.

Подставим ( x = -4 ) и ( y = -3 ): [ r = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. ]

Итак, модуль ( r = 5 ).

2. Нахождение аргумента:

Аргумент ( \varphi ) (угол в тригонометрической форме) определяется с учётом квадранта, в котором находится число. Для комплексного числа ( z = x + yi ), угол ( \varphi ) можно найти через функцию арктангенса: [ \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), ] где ( x ) и ( y ) — действительная и мнимая части соответственно. Однако важно учитывать, в каком квадранте лежит число.

У нас ( x = -4 ), ( y = -3 ). Число находится в третьей четверти (так как ( x < 0 ) и ( y < 0 )). Это значит, что аргумент будет: [ \varphi = \pi + \arctan\left(\frac{y}{x}\right). ]

Подставим: [ \frac{y}{x} = \frac{-3}{-4} = 0.75. ]

Теперь найдём угол: [ \varphi = -\pi + \arctan(0.75). ] Ваш ответ ( z = 5 ( cos(