Записать разложение бинома (1-х)^6

Для того чтобы разложить бином (1-x)^6, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона. Эта формула выглядит следующим образом:

(x+y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^(n-1)y^1 + . + C(n,n)x^0y^n,

где C(n,k) - биномиальный коэффициент, равный n!/(k!(n-k)!).

Применяя данную формулу к (1-x)^6, получим:

(1-x)^6 = C(6,0)1^6(-x)^0 + C(6,1)1^5(-x)^1 + C(6,2)1^4(-x)^2 + C(6,3)1^3(-x)^3 + C(6,4)1^2(-x)^4 + C(6,5)1^1(-x)^5 + C(6,6)1^0(-x)^6.

Вычислим каждый биномиальный коэффициент и упростим выражение:

C(6,0) = 1, C(6,1) = 6, C(6,2) = 15, C(6,3) = 20, C(6,4) = 15, C(6,5) = 6, C(6,6) = 1.

Теперь подставим значения биномиальных коэффициентов в исходное выражение:

(1-x)^6 = 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - 6x^5 + x^6.

Таким образом, разложение бинома (1-x)^6 равно 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - 6x^5 + x^6.

Чтобы разложить бином ((1-x)^6), мы используем формулу бинома Ньютона. Эта формула позволяет разложить выражение ((a + b)^n) в сумму, используя биномиальные коэффициенты. В вашем случае (a = 1), (b = -x), и (n = 6).

Формула бинома Ньютона для ((a + b)^n) выглядит следующим образом:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k ]

где (C_n^k) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Теперь применим эту формулу к ((1-x)^6):

[ (1-x)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k \cdot 1^{6-k} \cdot (-x)^k ]

Так как (1^{6-k} = 1) для любого (k), то выражение упрощается до:

[ (1-x)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k \cdot (-x)^k ]

Вычислим каждый член этой суммы:

1. (k = 0): [ C_6^0 \cdot (-x)^0 = 1 ]

2. (k = 1): [ C_6^1 \cdot (-x)^1 = 6 \cdot (-x) = -6x ]

3. (k = 2): [ C_6^2 \cdot (-x)^2 = 15 \cdot x^2 = 15x^2 ]

4. (k = 3): [ C_6^3 \cdot (-x)^3 = 20 \cdot (-x)^3 = -20x^3 ]

5. (k = 4): [ C_6^4 \cdot (-x)^4 = 15 \cdot x^4 = 15x^4 ]

6. (k = 5): [ C_6^5 \cdot (-x)^5 = 6 \cdot (-x)^5 = -6x^5 ]

7. (k = 6): [ C_6^6 \cdot (-x)^6 = 1 \cdot x^6 = x^6 ]

Соберём всё вместе:

[ (1-x)^6 = 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - 6x^5 + x^6 ]

Таким образом, разложение бинома ((1-x)^6) получилось следующим:

[ 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - 6x^5 + x^6 ]