Y= -x^2 - 4x + 5 а ) постройте график и найдите область значений функции б) промежуток возрастания функции

Для ответа на вопросы по данной функции ( y = -x^2 - 4x + 5 ), начнем с построения графика и анализа ее свойств.

а) Построение графика и нахождение области значений функции

1. Определим тип функции: Данная функция является квадратичной, так как имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = -1 ), ( b = -4 ), и ( c = 5 ).

2. Найдем вершину параболы: Вершина параболы для функции ( y = ax^2 + bx + c ) находится по формуле вершины ( x = -\frac{b}{2a} ). Подставим значения: [ x = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = \frac{4}{-2} = -2 ] Теперь найдем значение функции в этой точке: [ y = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-2, 9)).

3. Построим график:

   • Парабола направлена вниз (коэффициент ( a = -1 ) отрицательный).
   • Вершина параболы ((-2, 9)) является максимумом данной функции.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • Пересечение с осью ( y ): Подставляем ( x = 0 ): [ y = -0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5 ] Значит, точка пересечения с осью ( y ) — ( (0, 5) ).

   • Пересечение с осью ( x ) (решим уравнение ( -x^2 - 4x + 5 = 0 )): Это квадратное уравнение, его можно решить через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{-2} = \frac{4 \pm 6}{-2} ] [ x_1 = \frac{4 + 6}{-2} = \frac{10}{-2} = -5 ] [ x_2 = \frac{4 - 6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 ] Значит, точки пересечения с осью ( x ) — ( (-5, 0) ) и ( (1, 0) ).

5. Область значений функции: Так как вершина параболы является максимумом и находится в точке ( ( -2, 9 ) ), и функция направлена вниз, область значений ( y ) будет от минус бесконечности до 9: [ y \in (-\infty, 9] ]

б) Промежуток возрастания функции

Для определения промежутков возрастания и убывания функции рассмотрим производную функции ( y = -x^2 - 4x + 5 ): [ y' = -2x - 4 ] Найдем нули производной: [ -2x - 4 = 0 \implies x = -2 ]

Производная меняет знак в точке ( x = -2 ). Рассмотрим знаки производной на промежутках:

• Для ( x < -2 ), например, ( x = -3 ): [ y' = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 \quad (\text{положительно}) ] На этом промежутке функция возрастает.

• Для ( x > -2 ), например, ( x = 0 ): [ y' = -2(0) - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}) ] На этом промежутке функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке ( (-\infty, -2) ).

Итоги:

1. График функции представляет собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке ( (-2, 9) ).
2. Область значений функции: ( y \in (-\infty, 9] ).
3. Промежуток возрастания функции: ( (-\infty, -2) ).

а) График функции Y = -x^2 - 4x + 5 представляет собой параболу, которая смотрится вниз. Область значений функции - бесконечно убывающая функция. б) Функция Y = -x^2 - 4x + 5 убывает на всей числовой прямой.

а) Для построения графика функции Y = -x^2 - 4x + 5 необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти вершину параболы, используя формулу x = -b / 2a. В данном случае a = -1, b = -4, поэтому x = -(-4) / 2(-1) = 2. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, 1).
2. Зная вершину параболы и коэффициент при x^2, можно определить, что парабола направлена вниз.
3. Построить график, используя вершину параболы и её направление.

Область значений функции Y = -x^2 - 4x + 5 зависит от того, какие значения принимает переменная x. Поскольку у функции Y параболическая форма, то область значений будет отрицательной бесконечности до значения y вершины параболы.

б) Для нахождения промежутка возрастания функции Y = -x^2 - 4x + 5 нужно найти точку, где производная функции равна нулю. Для этого найдём производную функции и приравняем её к нулю: Y' = -2x - 4 -2x - 4 = 0 -2x = 4 x = -2

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -2) и (2, +бесконечность).