Y=√x-x² найти область определения функции

Чтобы найти область определения функции ( Y = \sqrt{x} - x^2 ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражение под знаком квадратного корня и само выражение остаются допустимыми.

1. Условие для квадратного корня: Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть: [ \sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad x \geq 0 ] Это первое ограничение на область определения функции.

2. Полное выражение: Функция ( Y = \sqrt{x} - x^2 ) должна существовать для всех ( x ), удовлетворяющих условию выше. Однако, так как квадратный корень из ( x ) может быть определён для ( x \geq 0 ), и функция ( x^2 ) определена для всех ( x ), остаётся проверить, где функция остаётся действительной и не приводит к комплексным значениям.

3. Проверка на допустимость значения: Выражение (\sqrt{x} - x^2) остаётся действительным для всех ( x \geq 0 ), но нам нужно удостовериться, что это выражение остаётся определённым: [ \sqrt{x} - x^2 \geq 0 ] Решим неравенство: [ \sqrt{x} \geq x^2 ] Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: [ x \geq x^4 ] Перепишем неравенство как: [ x^4 - x \leq 0 ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(x^3 - 1) \leq 0 ]

4. Анализ критических точек: Решим уравнение ( x^3 - 1 = 0 ), которое даёт: [ x^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ] Критические точки — это ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

5. Исследование знаков на промежутках: Проверим знаки на промежутках, используя метод интервалов:

   • Для ( x \in [0, 1] ): подставим ( x = 0.5 ): [ 0.5(0.5^3 - 1) = 0.5(-0.875) \leq 0 \quad \text{(верно)} ]

   • Для ( x > 1 ): подставим ( x = 2 ): [ 2(2^3 - 1) = 2(7) > 0 \quad \text{(неверно)} ]

Таким образом, область определения функции ( Y = \sqrt{x} - x^2 ) — это отрезок ( [0, 1] ), где функция остаётся действительной и определённой.

Для функции Y=√x-x² областью определения будет множество всех действительных чисел x, для которых выражение под знаком корня и выражение в знаменателе неотрицательны.

1) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: √x-x² ≥ 0. 2) Выражение в знаменателе не должно равняться нулю: x ≠ 1/2.

Таким образом, областью определения функции Y=√x-x² будет множество всех действительных чисел x, таких что x ≤ 0 и x ≠ 1/2.

Итак, область определения функции Y=√x-x²: x ∈ (-∞, 0] \ {1/2}.

Область определения функции Y=√x-x²: x∈[0,1]