Y=√x-2 Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [3;11]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( Y = \sqrt{x} - 2 ) на отрезке ([3; 11]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Определение области определения функции: Функция ( Y = \sqrt{x} - 2 ) определена для ( x \geq 0 ), поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным. На отрезке ([3; 11]) функция определена для всех значений ( x ).

2. Проверка значений функции на границах отрезка:

   • Для ( x = 3 ): [ Y = \sqrt{3} - 2 ] Это приблизительно равно ( 1.732 - 2 = -0.268 ).

   • Для ( x = 11 ): [ Y = \sqrt{11} - 2 ] Это приблизительно равно ( 3.317 - 2 = 1.317 ).

3. Исследование функции на промежутке: Поскольку функция ( Y = \sqrt{x} - 2 ) является непрерывной и монотонно возрастающей на отрезке ([3; 11]) (производная (\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}) положительна для всех ( x > 0 )), максимальное значение будет на правой границе, а минимальное на левой.

4. Вывод:

   • Наименьшее значение функции на отрезке ([3; 11]) равно ( \sqrt{3} - 2 \approx -0.268 ).
   • Наибольшее значение функции на отрезке ([3; 11]) равно ( \sqrt{11} - 2 \approx 1.317 ).

Таким образом, функция достигает минимального значения около (-0.268) при ( x = 3 ) и максимального значения около (1.317) при ( x = 11 ).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции Y=√x-2 на отрезке [3;11] необходимо вычислить значения функции при граничных точках и в критических точках внутри отрезка.

1. Граничные точки:

   • При x=3: Y(3) = √3-2 ≈ 0.73
   • При x=11: Y(11) = √11-2 ≈ 1.65

2. Критическая точка: Для нахождения критической точки необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю. Y'(x) = 1/(2√x) = 0 1/(2√x) = 0 1 = 0 - противоречие, так как деление на ноль невозможно.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [3;11] равно Y(11) ≈ 1.65, а наименьшее значение функции равно Y(3) ≈ 0.73.