Y=lg(3-2x-x^2) найдите область определения функции

Чтобы найти область определения функции ( y = \lg(3 - 2x - x^2) ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражение внутри логарифма положительно, так как логарифм (в данном случае десятичный) определён только для положительных аргументов.

Таким образом, мы должны решить неравенство:

[ 3 - 2x - x^2 > 0 ]

Перепишем это неравенство в стандартной форме:

[ -x^2 - 2x + 3 > 0 ]

Умножим обе стороны на (-1) (при этом знак неравенства изменится):

[ x^2 + 2x - 3 < 0 ]

Теперь нужно найти корни квадратного уравнения ( x^2 + 2x - 3 = 0 ). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]

Корни уравнения находятся по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} ]

Вычислим корни:

1. ( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 )
2. ( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 )

Теперь у нас есть два корня: ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -3 ). Эти корни разбивают числовую ось на три промежутка:

1. ( (-\infty, -3) )
2. ( (-3, 1) )
3. ( (1, +\infty) )

Теперь необходимо определить знак выражения ( x^2 + 2x - 3 ) на каждом из этих промежутков.

1. Для промежутка ( (-\infty, -3) ): Например, возьмём ( x = -4 ): [ (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 ] Значит, в этом промежутке выражение положительно.

2. Для промежутка ( (-3, 1) ): Например, возьмём ( x = 0 ): [ 0^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 ] Значит, в этом промежутке выражение отрицательно.

3. Для промежутка ( (1, +\infty) ): Например, возьмём ( x = 2 ): [ 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 ] Значит, в этом промежутке выражение положительно.

Таким образом, ( x^2 + 2x - 3 < 0 ) на промежутке ( (-3, 1) ).

Следовательно, область определения функции ( y = \lg(3 - 2x - x^2) ) — это интервал:

[ (-3, 1) ]

Таким образом, область определения функции ( y ) — это все значения ( x ) из интервала ( (-3, 1) ).

Чтобы найти область определения функции ( y = \log(3 - 2x - x^2) ), нужно учитывать, что логарифмическая функция определена только тогда, когда её аргумент положителен. То есть, подлогарифмическое выражение ( 3 - 2x - x^2 ) должно быть строго больше нуля:

[ 3 - 2x - x^2 > 0 ]

Теперь решим это неравенство.

1. Преобразуем выражение

Перепишем ( 3 - 2x - x^2 ) в стандартной форме квадратного трёхчлена: [ -x^2 - 2x + 3 > 0 ] Домножим всё на (-1) (учитывая, что знак неравенства при этом меняется): [ x^2 + 2x - 3 < 0 ]

2. Найдём корни квадратного трёхчлена

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -3 ). Подставим значения: [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}. ] [ x = \frac{-2 \pm 4}{2}. ] Теперь найдём два корня: [ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3. ]

3. Определим знаки трёхчлена

Корни ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -3 ) разбивают числовую прямую на три промежутка: ( (-\infty, -3) ), ( (-3, 1) ), ( (1, \infty) ). Знаки трёхчлена ( x^2 + 2x - 3 ) чередуются, начиная с плюса (так как коэффициент при ( x^2 ) положителен). Рассмотрим знаки на каждом промежутке:

• На ( (-\infty, -3) ): ( x^2 + 2x - 3 > 0 ) (положительно),
• На ( (-3, 1) ): ( x^2 + 2x - 3 < 0 ) (отрицательно),
• На ( (1, \infty) ): ( x^2 + 2x - 3 > 0 ) (положительно).

Нас интересует, где трёхчлен меньше нуля: [ x^2 + 2x - 3 < 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-3, 1). ]

4. Ответ

Область определения функции: [ x \in (-3, 1). ] На этом промежутке подлогарифмическое выражение ( 3 - 2x - x^2 ) положительно, а значит, логарифмическая функция определена.