Y=Корень 4 степени из x^2-3x-4 Найти область определения функции

Область определения функции Y = √(x^2 - 3x - 4) - все значения x, при которых выражение под корнем неотрицательно, то есть x^2 - 3x - 4 ≥ 0.

Для функции Y=√(x^2-3x-4), область определения будет состоять из всех значений x, для которых выражение под корнем является неотрицательным. То есть x^2-3x-4 должно быть больше или равно нулю.

Чтобы найти область определения, решим неравенство x^2-3x-4 ≥ 0. Для этого сначала найдем корни уравнения x^2-3x-4=0, которые равны x=-1 и x=4. Затем построим знаки функции на числовой прямой, используя найденные корни:

      -∞           -1           4           +∞
      +             -            +           +

Отсюда следует, что функция будет неотрицательна на интервалах (-∞, -1] и [4, +∞), поэтому область определения функции Y=√(x^2-3x-4) будет состоять из всех значений x, принадлежащих этим интервалам: x ∈ (-∞, -1] ∪ [4, +∞).

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4} ), нужно определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем имеет смысл. В данном случае речь идет о четной степени корня (четвертая степень), поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Итак, нам нужно решить неравенство: [ x^2 - 3x - 4 \geq 0. ]

Первым шагом будет разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения ( x^2 - 3x - 4 = 0 ).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -4 ).

Подставляем значения: [ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, ] [ x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1. ]

Теперь разложим квадратный трёхчлен на множители: [ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1). ]

Рассмотрим неравенство: [ (x - 4)(x + 1) \geq 0. ]

Чтобы решить это неравенство, определим знаки выражения на промежутках, которые создают корни ( x = 4 ) и ( x = -1 ).

Разбиваем числовую ось на интервалы, используя найденные корни:

1. ( x \in (-\infty, -1) ),
2. ( x \in (-1, 4) ),
3. ( x \in (4, \infty) ).

Теперь проверим знаки выражения ( (x - 4)(x + 1) ) на этих промежутках:

1. ( x \in (-\infty, -1) ): выберем, например, ( x = -2 ). Подставляем в выражение: ( (-2 - 4)(-2 + 1) = -6 \cdot -1 = 6 ). Знак положительный.
2. ( x \in (-1, 4) ): выберем, например, ( x = 0 ). Подставляем в выражение: ( (0 - 4)(0 + 1) = -4 \cdot 1 = -4 ). Знак отрицательный.
3. ( x \in (4, \infty) ): выберем, например, ( x = 5 ). Подставляем в выражение: ( (5 - 4)(5 + 1) = 1 \cdot 6 = 6 ). Знак положительный.

Также учитываем точки ( x = -1 ) и ( x = 4 ), где выражение равно нулю.

Следовательно, неравенство ( (x - 4)(x + 1) \geq 0 ) выполняется на промежутках: [ x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty). ]

Таким образом, область определения функции ( y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4} ) составляет: [ x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty). ]