Y=-5x^5+3x^3 Это функцию надо исследовать полностью! Решение,экстремумы,минимумы,максимумы

Для начала исследуем функцию на экстремумы. Для этого найдем производную функции Y по x:

Y' = -25x^4 + 9x^2

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

-25x^4 + 9x^2 = 0 x^2(-25x^2 + 9) = 0 x^2 = 0 или -25x^2 + 9 = 0

Отсюда получаем два решения: x = 0 и x = ±3/5

Теперь найдем вторую производную функции Y:

Y'' = -100x^3 + 18x

Для точки x = 0: Y''(0) = 0

Для точки x = 3/5: Y''(3/5) = -100(3/5)^3 + 18(3/5) = -54/5

Для точки x = -3/5: Y''(-3/5) = -100(-3/5)^3 + 18(-3/5) = 54/5

Таким образом, точка x = 0 является точкой перегиба, а точки x = ±3/5 - точками экстремума. Для точки x = 3/5 найден минимум функции, а для точки x = -3/5 - максимум.

Итак, исследование функции Y = -5x^5 + 3x^3 полностью завершено.

Для полного исследования функции ( y = -5x^5 + 3x^3 ) нам нужно выполнить несколько шагов: определить область определения функции, найти производные, исследовать критические точки, определить интервалы возрастания и убывания, найти экстремумы (максимумы и минимумы), а также определить поведение функции на бесконечности и точки перегиба.

1. Область определения функции: Функция ( y = -5x^5 + 3x^3 ) является многочленом, следовательно, она определена для всех значений ( x ) на всей числовой оси. То есть, область определения функции ( y ) - это все действительные числа: ( x \in \mathbb{R} ).

2. Производная функции: Найдём первую производную функции ( y ): [ y' = \frac{d}{dx}(-5x^5 + 3x^3) = -25x^4 + 9x^2 ]

3. Критические точки: Критические точки находятся из условия ( y' = 0 ): [ -25x^4 + 9x^2 = 0 ] Вынесем общий множитель: [ x^2(-25x^2 + 9) = 0 ] Это уравнение имеет решения: [ x^2 = 0 \quad \text{или} \quad -25x^2 + 9 = 0 ] Первое уравнение даёт ( x = 0 ).

   Решим второе уравнение: [ -25x^2 + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad 25x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{9}{25} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{3}{5} ]

   Таким образом, критические точки: ( x = 0 ), ( x = \frac{3}{5} ) и ( x = -\frac{3}{5} ).

4. Вторая производная: Найдём вторую производную функции ( y ): [ y'' = \frac{d}{dx}(-25x^4 + 9x^2) = -100x^3 + 18x ]

5. Исследование знака второй производной в критических точках: Проверим знак второй производной в критических точках:

   Для ( x = 0 ): [ y''(0) = -100(0)^3 + 18(0) = 0 ] Вторая производная в точке ( x = 0 ) равна нулю, что требует дополнительного анализа (например, третьей производной).

   Для ( x = \frac{3}{5} ): [ y''\left(\frac{3}{5}\right) = -100\left(\frac{3}{5}\right)^3 + 18\left(\frac{3}{5}\right) = -100 \cdot \frac{27}{125} + 18 \cdot \frac{3}{5} = -21.6 + 10.8 = -10.8 ] Вторая производная в точке ( x = \frac{3}{5} ) отрицательна, значит, ( x = \frac{3}{5} ) - точка максимума.

   Для ( x = -\frac{3}{5} ): [ y''\left(-\frac{3}{5}\right) = -100\left(-\frac{3}{5}\right)^3 + 18\left(-\frac{3}{5}\right) = -100 \cdot \frac{-27}{125} + 18 \cdot \frac{-3}{5} = 21.6 - 10.8 = 10.8 ] Вторая производная в точке ( x = -\frac{3}{5} ) положительна, значит, ( x = -\frac{3}{5} ) - точка минимума.

6. Определение экстремумов: Подставим критические точки в исходную функцию для нахождения значений экстремумов:

   Для ( x = 0 ): [ y(0) = -5(0)^5 + 3(0)^3 = 0 ]

   Для ( x = \frac{3}{5} ): [ y\left(\frac{3}{5}\right) = -5\left(\frac{3}{5}\right)^5 + 3\left(\frac{3}{5}\right)^3 = -5 \cdot \frac{243}{3125} + 3 \cdot \frac{27}{125} = -\frac{1215}{3125} + \frac{81}{125} = -0.3888 + 0.648 = 0.2592 ]

   Для ( x = -\frac{3}{5} ): [ y\left(-\frac{3}{5}\right) = -5\left(-\frac{3}{5}\right)^5 + 3\left(-\frac{3}{5}\right)^3 = -5 \cdot \frac{-243}{3125} + 3 \cdot \frac{-27}{125} = \frac{1215}{3125} - \frac{81}{125} = 0.3888 - 0.648 = -0.2592 ]

   Таким образом, экстремумы:

   • Максимум: ( x = \frac{3}{5} ), ( y \approx 0.2592 )
   • Минимум: ( x = -\frac{3}{5} ), ( y \approx -0.2592 )

7. Поведение на бесконечности: Предел функции при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ): [ \lim{x \to \infty} (-5x^5 + 3x^3) = -\infty ] [ \lim{x \to -\infty} (-5x^5 + 3x^3) = \infinity ]

8. Интервалы возрастания и убывания: Используем первую производную: [ y' = -25x^4 + 9x^2 ] Исследуем знак производной на интервалах, определённых критическими точками:

   • ( x \in (-\infty, -\frac{3}{5}) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)
   • ( x \in (-\frac{3}{5}, 0) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)
   • ( x \in (0, \frac{3}{5}) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)
   • ( x \in (\frac{3}{5}, \infty) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)

Таким образом, мы полностью исследовали функцию ( y = -5x^5 + 3x^3 ).

Для исследования функции Y=-5x^5+3x^3 на экстремумы, минимумы и максимумы необходимо найти производную и приравнять ее к нулю. Затем найти значения x, подставить их в исходное уравнение и определить соответствующие значения Y.