Y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x) постройте график функции Определите при каких значениях m прямая y=m имеет...

Для построения графика функции y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x) нужно следовать следующим шагам:

1. Разложите выражение внутри модуля: |x/2-2/x| = |(x^2-4)/(2x)| = |(x-2)(x+2)|/(2|x|).
2. Подставьте это разложение обратно в исходное уравнение: y=1/2(|(x-2)(x+2)|/(2|x|) + x/2 + 2/x).
3. Упростите выражение и выразите y в виде функции x.

Чтобы найти значения m, при которых прямая y=m имеет ровно одну общую точку с графиком функции, нужно найти решения уравнения y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x) = m. Это уравнение может иметь одно или несколько решений, в зависимости от значения m и конкретного вида графика функции.

Для решения этого вопроса необходимо анализировать график данной функции и искать точки пересечения с прямой y=m для различных значений m.

Для начала нам нужно разобраться с функцией ( y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{2} - \frac{2}{x} \right| + \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \right) ).

Шаг 1: Анализ функции

Функция состоит из двух частей: модуля и линейной комбинации. Понимание, как ведет себя каждая часть, поможет нам в построении графика.

Модульная часть

[ \left| \frac{x}{2} - \frac{2}{x} \right| ] Это выражение равно нулю при ( \frac{x}{2} = \frac{2}{x} ) или ( x^2 = 4 ), откуда ( x = 2 ) или ( x = -2 ). Это означает, что модуль изменяет свое поведение на этих точках.

Линейная комбинация

[ \frac{x}{2} + \frac{2}{x} ] Это выражение определено для всех ( x \neq 0 ) и имеет вертикальные асимптоты при ( x = 0 ).

Шаг 2: Разбиение на интервалы

Рассмотрим поведение модуля на разных интервалах:

• Когда ( x > 2 ), ( \frac{x}{2} - \frac{2}{x} > 0 ) (поскольку ( \frac{x}{2} ) растет быстрее, чем ( \frac{2}{x} ) убывает), тогда ( \left| \frac{x}{2} - \frac{2}{x} \right| = \frac{x}{2} - \frac{2}{x} ).
• Когда ( x < -2 ), ( \frac{x}{2} - \frac{2}{x} > 0 ) (поскольку оба слагаемых отрицательны, но ( \frac{2}{x} ) убывает быстрее), тогда ( \left| \frac{x}{2} - \frac{2}{x} \right| = \frac{x}{2} - \frac{2}{x} ).
• Когда ( -2 < x < 2 ), ( \frac{x}{2} - \frac{2}{x} < 0 ), тогда ( \left| \frac{x}{2} - \frac{2}{x} \right| = -\left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right) = \frac{2}{x} - \frac{x}{2} ).

Таким образом, функция может быть переписана как: [ y = \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{2}{x} & \text{для } x \leq -2 \text{ или } x \geq 2 \ \frac{2}{x} & \text{для } -2 < x < 2 \end{cases} ]

Шаг 3: Построение графика

• Для ( x \leq -2 ) и ( x \geq 2 ), функция имеет вид ( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} ), что является гиперболой, смещенной вверх на кривой.
• Для ( -2 < x < 2 ), функция представляет собой гиперболу ( y = \frac{2}{x} ).

Шаг 4: Определение значений m

Для того чтобы прямая ( y = m ) имела ровно одну общую точку с графиком, необходимо, чтобы она касалась графика функции в одной точке или пересекала вертикальные асимптоты/точки разрыва.

1. Касание гиперболы: Необходимо исследовать производную функции и найти её экстремумы.
2. Пересечение с точками разрыва: Смотрим на поведение функции в точках ( x = \pm 2 ). Значения функции в этих точках: ( y = 2 ).

Таким образом, ( m = 2 ) является кандидатом на значение, при котором прямая ( y = m ) имеет ровно одну общую точку с графиком на интервале ( -2 < x < 2 ).

Для построения графика функции y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x) необходимо воспользоваться программой для построения графиков, например, GeoGebra или Desmos.

Для того чтобы прямая y=m имела с графиком функции ровно одну общую точку, значение m должно быть равно значению функции в точке пересечения. То есть, необходимо найти значение x, при котором y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x) равно m, и это значение должно быть единственным.