X^2-6/x-3=x/x-3 Дробно рациональное уравнение Помогите пожалуйста

Данное уравнение является дробно-рациональным уравнением, так как содержит дроби с переменными в числителях и знаменателях. Чтобы решить это уравнение, нужно привести его к общему знаменателю и упростить.

Итак, у нас дано уравнение:

[\frac{x^2-6}{x-3} = \frac{x}{x-3}]

Приведем обе стороны уравнения к общему знаменателю, который будет равен (x-3). Для этого умножим левую и правую части уравнения на (x-3):

[(x^2-6)(x-3) = x(x-3)]

Раскроем скобки и упростим выражения:

[x^3 - 3x^2 - 6x + 18 = x^2 - 3x]

Теперь приведем подобные члены на одну сторону уравнения:

[x^3 - 3x^2 - 6x + 18 - x^2 + 3x = 0]

[x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = 0]

Это уравнение является кубическим уравнением. Для его решения потребуется использовать методы решения кубических уравнений, такие как графический метод, метод подстановки, кубическая формула и т.д.

Конечно, давайте разберём это дробно-рациональное уравнение подробно. Уравнение имеет вид:

[ \frac{X^2 - 6}{X - 3} = \frac{X}{X - 3} ]

Для начала нам нужно понять, при каких значениях ( X ) уравнение имеет смысл. Это происходит, когда знаменатель не равен нулю, то есть:

[ X - 3 \neq 0 ]

Следовательно, ( X \neq 3 ).

Теперь рассмотрим само уравнение. Мы видим, что знаменатели с обеих сторон уравнения одинаковы. При условии, что ( X \neq 3 ), мы можем приравнять числители:

[ X^2 - 6 = X ]

Это приводит нас к квадратному уравнению:

[ X^2 - X - 6 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -1 ), и ( c = -6 ). Подставим эти значения в формулу:

[ X = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} ]

[ X = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} ]

[ X = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} ]

[ X = \frac{1 \pm 5}{2} ]

Теперь найдем два корня:

[ X_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 ]

[ X_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 ]

Таким образом, мы получили два корня: ( X = 3 ) и ( X = -2 ). Однако, как мы установили ранее, ( X \neq 3 ), потому что это значение делает знаменатель равным нулю и уравнение теряет смысл.

Следовательно, единственным допустимым решением является:

[ X = -2 ]

Мы нашли, что:

[ X = -2 ]

Является единственным решением исходного уравнения.