X^2-2x-3 больше или равно 0 решить надо методом интервала

Для решения неравенства X^2-2x-3 >= 0 методом интервалов нужно найти корни квадратного уравнения X^2-2x-3=0 и построить знаки многочлена на интервалах, определенных этими корнями.

Для решения данного неравенства методом интервалов, нам нужно найти корни квадратного уравнения X^2 - 2X - 3 = 0. Для этого сначала найдем дискриминант: D = (-2)^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16. Так как D > 0, у уравнения есть два различных вещественных корня.

Найдем корни уравнения: X1,2 = (-(-2) ± √16) / 2*1 = (2 ± 4) / 2 = {3, -1}.

Теперь построим интервалы на числовой прямой: (-∞, -1), (-1, 3), (3, +∞). Выберем точы из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения X^2 - 2X - 3:

1. Для интервала (-∞, -1): x = -2, (-2)^2 - 2*(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0.
2. Для интервала (-1, 3): x = 0, 0^2 - 2*0 - 3 = -3 < 0.
3. Для интервала (3, +∞): x = 4, 4^2 - 2*4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0.

Итак, решением неравенства X^2 - 2X - 3 ≥ 0 является объединение интервалов (-∞, -1] и [3, +∞).

Чтобы решить неравенство ( x^2 - 2x - 3 \geq 0 ) методом интервалов, следуем следующему пошаговому алгоритму:

1. Найдем корни квадратного уравнения: Для этого решим уравнение ( x^2 - 2x - 3 = 0 ). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Подставим значения ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ): [ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ] Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 ]

2. Разделим числовую ось на интервалы: Корни уравнения ( x = 3 ) и ( x = -1 ) делят числовую ось на три интервала:

   • ( (-\infty, -1) )
   • ( (-1, 3) )
   • ( (3, \infty) )

3. Определим знаки выражения на каждом интервале: Выберем по одному тестовому значению из каждого интервала и подставим их в выражение ( x^2 - 2x - 3 ):

   • Для интервала ( (-\infty, -1) ) выберем, например, ( x = -2 ): [ (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \quad (\text{положительное}) ]
   • Для интервала ( (-1, 3) ) выберем, например, ( x = 0 ): [ 0^2 - 2(0) - 3 = -3 \quad (\text{отрицательное}) ]
   • Для интервала ( (3, \infty) ) выберем, например, ( x = 4 ): [ 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \quad (\text{положительное}) ]

4. Учтем значения в точках, где выражение равно нулю: В точках ( x = -1 ) и ( x = 3 ) выражение ( x^2 - 2x - 3 ) равно нулю: [ (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 0, \quad 3^2 - 2(3) - 3 = 0 ]

5. Запишем решение: Включим точки, где выражение равно нулю, поскольку у нас неравенство нестрогое (( \geq 0 )). Таким образом, решением являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю: [ x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty) ]

Итак, окончательное решение неравенства ( x^2 - 2x - 3 \geq 0 ) методом интервалов: [ x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty) ]