X в 5 степени = -25. Решить уравнение.

Рассмотрим уравнение ( x^5 = -25 ).

Для решения этого уравнения нужно найти такое значение ( x ), при котором возведение его в пятую степень даст результат (-25).

1. Понимание корней уравнения:

   • Поскольку у нас нечетная степень (пятая степень), уравнение обязательно имеет один действительный корень.
   • Мы также можем найти комплексные корни, но начнем с действительного.

2. Нахождение действительного корня:

   • Поскольку (-25) отрицательное число, ( x ) должен быть отрицательным, так как нечетная степень отрицательного числа дает отрицательный результат.
   • Применим метод нахождения корня путём извлечения корня пятой степени: ( x = \sqrt[5]{-25} ).

Используем свойства корней для отрицательных чисел: [ x = \sqrt[5]{-25} = -\sqrt[5]{25} ]

Теперь найдем значение корня пятой степени из 25: [ \sqrt[5]{25} \approx 1.90365 ]

Таким образом, действительный корень уравнения: [ x \approx -1.90365 ]

1. Комплексные корни:

   • Кроме действительного корня, у уравнения есть ещё четыре комплексных корня.
   • Для нахождения комплексных корней применим формулу корней из комплексных чисел, используя комплексное представление: [ -25 = 25e^{i\pi} \text{ (так как } e^{i\pi} = -1) ]

   Извлечем корень пятой степени: [ x_k = \sqrt[5]{25} \cdot e^{i(\pi + 2k\pi)/5} ] где ( k = 0, 1, 2, 3, 4 ).

   Найдем значения для каждого ( k ):

   • Для ( k = 0 ): [ x_0 = 1.90365 \cdot e^{i\pi/5} \approx 1.90365 \cdot (\cos(\pi/5) + i\sin(\pi/5)) ]
   • Для ( k = 1 ): [ x_1 = 1.90365 \cdot e^{i3\pi/5} \approx 1.90365 \cdot (\cos(3\pi/5) + i\sin(3\pi/5)) ]
   • Для ( k = 2 ): [ x_2 = 1.90365 \cdot e^{i5\pi/5} \approx 1.90365 \cdot (\cos(5\pi/5) + i\sin(5\pi/5)) ]
   • Для ( k = 3 ): [ x_3 = 1.90365 \cdot e^{i7\pi/5} \approx 1.90365 \cdot (\cos(7\pi/5) + i\sin(7\pi/5)) ]
   • Для ( k = 4 ): [ x_4 = 1.90365 \cdot e^{i9\pi/5} \approx 1.90365 \cdot (\cos(9\pi/5) + i\sin(9\pi/5)) ]

Все эти комплексные корни также являются решениями уравнения ( x^5 = -25 ).

Таким образом, уравнение ( x^5 = -25 ) имеет одно действительное решение: [ x \approx -1.90365 ] и четыре комплексных решения: [ x_0, x_1, x_2, x_3, x_4 ]

Для решения уравнения X в 5 степени = -25 необходимо найти корень пятой степени из -25. Для этого можно воспользоваться формулой извлечения корня:

X = -25^(1/5)

X = -25^(1/5) = -25^(1/5) (1) = -25^(1/5) (-1) (-1) = -25^(1/5) (-1) (-1) (-1) * (-1) = -5

Таким образом, корень пятой степени из -25 равен -5. Получаем, что X = -5.

X = -5.