(X-5)^2/x-4 меньше нуля

Для решения неравенства (\frac{(x-5)^2}{x-4} < 0) нам необходимо разобраться, при каких значениях (x) данное выражение будет отрицательным.

Шаг 1: Исследование числителя

Числитель ((x-5)^2) представляет собой квадрат выражения (x-5). Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, ((x-5)^2 \geq 0) для всех значений (x), и он равен нулю только при (x = 5).

Шаг 2: Исследование знаменателя

Знаменатель (x-4) равен нулю при (x = 4). Это точка, в которой функция не определена, так как деление на ноль невозможно.

Шаг 3: Определение знаков

Для того чтобы дробь (\frac{(x-5)^2}{x-4}) была отрицательной, необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели разные знаки.

1. Числитель ((x-5)^2 = 0):

   • Это происходит только при (x = 5). В данной точке дробь равна нулю, а не отрицательна.

2. Числитель ((x-5)^2 > 0):

   • Это верно для всех (x \neq 5).

   Теперь посмотрим на знаменатель:

   • Когда (x > 4), (x-4 > 0).
   • Когда (x < 4), (x-4 < 0).

Шаг 4: Анализ интервалов

Рассмотрим интервалы, на которых нужно проверить знаки:

1. (x < 4):

   • ((x-5)^2 > 0) (так как (x \neq 5)),
   • (x-4 < 0).

   В этом интервале дробь будет отрицательной, поскольку числитель положителен, а знаменатель отрицателен.

2. (x = 4):

   • Дробь не определена.

3. (x > 4):

   • ((x-5)^2 > 0),
   • (x-4 > 0).

   В этом интервале дробь будет положительной, так как и числитель, и знаменатель положительны.

Шаг 5: Ответ

Таким образом, неравенство (\frac{(x-5)^2}{x-4} < 0) выполняется для интервала (x < 4).

Ответ: (x \in (-\infty, 4)).

Неравенство (X-5)^2/x-4 < 0 не имеет решений.

Для того чтобы найти значения переменной X, при которых выражение ((X-5)^2)/(X-4) меньше нуля, нам нужно рассмотреть знак данного выражения в каждой из его областей определения.

У нас есть два случая, которые нужно рассмотреть:

1. Когда X не равно 4. В этом случае мы можем сократить (X-4) из числителя и знаменателя и у нас останется ((X-5)^2) < 0. Теперь нам нужно найти значения X, при которых это неравенство выполнено. Однако равенство ((X-5)^2) = 0 не имеет решения, поэтому нам нужно найти значения X, при которых ((X-5)^2) > 0. Это будет выполнено для всех X, кроме X = 5.

2. Когда X равно 4. В этом случае выражение ((X-5)^2)/(X-4) не определено, так как в знаменателе будет ноль.

Таким образом, значения переменной X, при которых ((X-5)^2)/(X-4) меньше нуля, будут все значения X, кроме X = 4.