(X +4)⁴-6(x+4)²-7=0 решите, пожалуйста

Рассмотрим уравнение ((x + 4)^4 - 6(x + 4)^2 - 7 = 0).

Для удобства введем замену: (y = (x + 4)^2). Тогда уравнение преобразуется в:

[ y^2 - 6y - 7 = 0. ]

Теперь решим квадратное уравнение относительно (y):

1. Найдем дискриминант (D):

   [ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64. ]

2. Найдем корни уравнения:

   [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 8}{2}. ]

   Это дает нам два корня:

   [ y_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7, \quad y_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1. ]

Теперь вернемся к переменной (x):

1. Рассмотрим случай (y = 7):

   [ (x + 4)^2 = 7. ]

   Решая это уравнение, получаем:

   [ x + 4 = \pm \sqrt{7}. ]

   Следовательно, (x) может быть равен:

   [ x = -4 + \sqrt{7} \quad \text{или} \quad x = -4 - \sqrt{7}. ]

2. Рассмотрим случай (y = -1):

   [ (x + 4)^2 = -1. ]

   Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, у уравнения ((x + 4)^4 - 6(x + 4)^2 - 7 = 0) имеются два действительных решения:

[ x = -4 + \sqrt{7} \quad \text{и} \quad x = -4 - \sqrt{7}. ]

Для решения данного уравнения мы можем ввести замену: пусть t = x + 4. Тогда уравнение примет вид:

t⁴ - 6t² - 7 = 0

Это квадратное уравнение относительно t². Решим его с помощью квадратного уравнения:

t² = (6 ± √(6² + 417)) / 2*1 t² = (6 ± √(36 + 28)) / 2 t² = (6 ± √64) / 2 t² = (6 ± 8) / 2

Два возможных решения для t²:

1) t² = (6 + 8) / 2 = 7 2) t² = (6 - 8) / 2 = -1

Теперь найдем соответствующие значения t:

1) t = √7 или t = -√7 2) t = √(-1) или t = -√(-1)

Заменяем обратно t на x + 4:

1) x + 4 = √7 или x + 4 = -√7 2) x + 4 = i или x + 4 = -i

Итак, получаем четыре корня уравнения:

1) x = √7 - 4 или x = -√7 - 4 2) x = i - 4 или x = -i - 4

Таким образом, уравнение (x + 4)⁴ - 6(x + 4)² - 7 = 0 имеет четыре корня: x = √7 - 4, x = -√7 - 4, x = i - 4, x = -i - 4.