Выполните действия: а)28ab²/9c³ * 18c⁵/35a²b б)(x²-4y²) : x+2y/2y в)8m-2n/2n+3 * 9+6n/32m²-2n² г)y+6/y²-12y+36...

Конечно, давайте разберем каждый из примеров по порядку и подробно выполним действия.

а) (\frac{28ab^2}{9c^3} \cdot \frac{18c^5}{35a^2b})

1. Перепишем выражение: [ \frac{28ab^2}{9c^3} \cdot \frac{18c^5}{35a^2b}. ]

2. Умножим числители и знаменатели: [ \frac{28ab^2 \cdot 18c^5}{9c^3 \cdot 35a^2b}. ]

3. Смотрим на коэффициенты (числа): (28 \cdot 18 = 504), (9 \cdot 35 = 315).

4. Сократим дробь (\frac{504}{315}). Оба числа делятся на 63: [ \frac{504}{315} = \frac{8}{5}. ]

5. Теперь разберем переменные:

   • (a): (a \cdot 1 / a^2 = \frac{1}{a}),
   • (b^2 / b = b),
   • (c^5 / c^3 = c^2).

6. Подставляем всё вместе: [ \frac{8}{5} \cdot \frac{b c^2}{a}. ]

Ответ: [ \frac{8bc^2}{5a}. ]

б) (\frac{x^2 - 4y^2}{\frac{x+2y}{2y}})

1. Применяем основное правило деления дробей: деление дроби на дробь превращается в умножение на обратную дробь. Перепишем: [ \frac{x^2 - 4y^2}{1} \cdot \frac{2y}{x+2y}. ]

2. Заметим, что (x^2 - 4y^2) — это разность квадратов. Раскроем её: [ x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y). ]

3. Подставляем разложение: [ \frac{(x - 2y)(x + 2y)}{1} \cdot \frac{2y}{x+2y}. ]

4. Сократим (x + 2y) в числителе и знаменателе: [ (x - 2y) \cdot 2y = 2y(x - 2y). ]

Ответ: [ 2y(x - 2y). ]

в) (\frac{8m - 2n}{2n + 3} \cdot \frac{9 + 6n}{32m^2 - 2n^2})

1. Перепишем выражение: [ \frac{8m - 2n}{2n + 3} \cdot \frac{9 + 6n}{32m^2 - 2n^2}. ]

2. В первой дроби числитель можно вынести за скобки: [ 8m - 2n = 2(4m - n). ]

   Во второй дроби знаменатель (32m^2 - 2n^2) — это разность квадратов: [ 32m^2 - 2n^2 = 2(16m^2 - n^2) = 2(4m + n)(4m - n). ]

   Перепишем всё: [ \frac{2(4m - n)}{2n + 3} \cdot \frac{9 + 6n}{2(4m + n)(4m - n)}. ]

3. Сократим общий множитель (4m - n) в числителе и знаменателе. Также сократим (2) в числителе и знаменателе: [ \frac{1}{2n + 3} \cdot \frac{9 + 6n}{4m + n}. ]

4. Заметим, что (9 + 6n = 3(3 + 2n)). Перепишем дробь: [ \frac{3(3 + 2n)}{(2n + 3)(4m + n)}. ]

Ответ: [ \frac{3(3 + 2n)}{(2n + 3)(4m + n)}. ]

г) (\frac{y + 6}{y^2 - 12y + 36} : \frac{6y + 36}{y^3 - 6y^2})

1. Перепишем выражение как умножение на обратную дробь: [ \frac{y + 6}{y^2 - 12y + 36} \cdot \frac{y^3 - 6y^2}{6y + 36}. ]

2. Упростим числители и знаменатели:

   • (y^2 - 12y + 36) — это полный квадрат: [ y^2 - 12y + 36 = (y - 6)^2. ]

   • (6y + 36) можно вынести за скобки: [ 6y + 36 = 6(y + 6). ]

   • (y^3 - 6y^2) можно вынести общий множитель (y^2): [ y^3 - 6y^2 = y^2(y - 6). ]

   Переписываем дробь: [ \frac{y + 6}{(y - 6)^2} \cdot \frac{y^2(y - 6)}{6(y + 6)}. ]

3. Сократим множители:

   • (y + 6) сокращается,
   • (y - 6) в числителе и знаменателе сокращается частично (((y - 6)^2) станет (y - 6)).

   Остаётся: [ \frac{y^2}{6(y - 6)}. ]

Ответ: [ \frac{y^2}{6(y - 6)}. ]

ИТОГОВЫЕ ОТВЕТЫ:

а) (\frac{8bc^2}{5a}),
б) (2y(x - 2y)),
в) (\frac{3(3 + 2n)}{(2n + 3)(4m + n)}),
г) (\frac{y^2}{6(y - 6)}).

а) (\frac{28ab^2}{9c^3} \cdot \frac{18c^5}{35a^2b} = \frac{28 \cdot 18 \cdot b^{2-1} \cdot c^{5-3}}{9 \cdot 35 \cdot a^{2-1}} = \frac{504c^2b}{315a} = \frac{24c^2b}{15a} = \frac{8c^2b}{5a})

б) ((x^2 - 4y^2) : (x + 2y) = \frac{(x - 2y)(x + 2y)}{(x + 2y)} = x - 2y)

в) (\frac{8m - 2n}{2n + 3} \cdot \frac{9 + 6n}{32m^2 - 2n^2} = \frac{(8m - 2n)(9 + 6n)}{(2n + 3)(32m^2 - 2n^2)}) (необходимо упростить выражения в числителе и знаменателе)

г) (\frac{y + 6}{y^2 - 12y + 36} : \frac{6y + 36}{y^3 - 6y^2} = \frac{y + 6}{(y - 6)^2} \cdot \frac{y^3 - 6y^2}{6(y + 6)} = \frac{y^3 - 6y^2}{6(y - 6)^2}) (можно упростить, если требуется).

Давайте рассмотрим каждое из заданий по очереди.

а) ( \frac{28ab^2}{9c^3} \cdot \frac{18c^5}{35a^2b} )

1. Перемножим дроби: [ \frac{28 \cdot 18 \cdot ab^2 \cdot c^5}{9 \cdot 35 \cdot c^3 \cdot a^2b} ]

2. Упрощение числителей и знаменателей:

   • Числитель: ( 28 \cdot 18 = 504 )
   • Знаменатель: ( 9 \cdot 35 = 315 )

   Таким образом, дробь становится: [ \frac{504ab^2c^5}{315a^2bc^3} ]

3. Сократим дробь:

   • ( a ) в числителе и знаменателе: ( a^{1-2} = \frac{1}{a} )
   • ( b ) в числителе и знаменателе: ( b^{2-1} = b^{1} )
   • ( c ) в числителе и знаменателе: ( c^{5-3} = c^{2} )

   Получаем: [ \frac{504b c^2}{315a} ]

4. Делим числитель и знаменатель на их НОД (504 и 315 имеют НОД 63):

   • ( \frac{504}{63} = 8 )
   • ( \frac{315}{63} = 5 )

   Итак, окончательный ответ: [ \frac{8bc^2}{5a} ]

б) ( \frac{x^2 - 4y^2}{x + 2y} \cdot \frac{1}{2y} )

1. Применим формулу разности квадратов: [ x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y) ]

   Таким образом, дробь становится: [ \frac{(x - 2y)(x + 2y)}{x + 2y} \cdot \frac{1}{2y} ]

2. Сократим ( x + 2y ): [ \frac{x - 2y}{2y} ]

   Окончательный ответ: [ \frac{x - 2y}{2y} ]

в) ( \frac{8m - 2n}{2n + 3} \cdot \frac{9 + 6n}{32m^2 - 2n^2} )

1. Упрощаем первую дробь: [ \frac{2(4m - n)}{2n + 3} ]

2. Вторую дробь нужно упростить: ( 32m^2 - 2n^2 ) можно представить как ( 2(16m^2 - n^2) = 2(4m - n)(4m + n) ).

   Таким образом, дробь становится: [ \frac{2(4m - n)(9 + 6n)}{2(2n + 3)(4m - n)(4m + n)} ]

3. Сократим 2 и ( (4m - n) ): [ \frac{(9 + 6n)}{(2n + 3)(4m + n)} ]

   Окончательный ответ: [ \frac{9 + 6n}{(2n + 3)(4m + n)} ]

г) ( \frac{y + 6}{y^2 - 12y + 36} \cdot \frac{6y + 36}{y^3 - 6y^2} )

1. Упрощаем первую дробь: ( y^2 - 12y + 36 ) является полным квадратом: [ (y - 6)^2 ]

2. Для второй дроби: ( 6y + 36 = 6(y + 6) ) и ( y^3 - 6y^2 = y^2(y - 6) ).

   Таким образом, дробь становится: [ \frac{y + 6}{(y - 6)^2} \cdot \frac{6(y + 6)}{y^2(y - 6)} ]

3. Объединяем дроби: [ \frac{6(y + 6)^2}{(y - 6)^3y^2} ]

4. Окончательный ответ: [ \frac{6(y + 6)^2}{(y - 6)^3y^2} ]

Теперь у вас есть развернутые ответы на каждую часть задания! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!