Вычислительной площадь фигуры , ограниченной линиями y= - x^2+4 , y=2-x Решение с рисунком

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 2 - x, нужно найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения и найдем x:

-x^2 + 4 = 2 - x -x^2 + x + 2 = 0

Далее найдем корни уравнения:

D = 1 - 4(-1)2 = 9 x1 = (-1 + sqrt(9)) / (-2) = 1 x2 = (-1 - sqrt(9)) / (-2) = -2

Теперь найдем y для каждой точки пересечения:

y1 = 2 - 1 = 1 y2 = 2 + 2 = 4

Таким образом, точки пересечения линий y = -x^2 + 4 и y = 2 - x: (1, 1) и (-2, 4).

Теперь построим график и отметим на нем эти точки:

[Вставить график, показывающий пересечение двух линий]

Площадь фигуры между этими двумя кривыми можно найти как интеграл разности этих функций на интервале [-2, 1]:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx S = ∫[-2, 1] ((-x^2 + 4) - (2 - x)) dx S = ∫[-2, 1] (-x^2 + x + 2) dx S = [(-x^3/3 + x^2/2 + 2x)] [-2, 1] S = [(1/3 - 1/2 + 2) - (-8/3 + 2 + 4)] = [11/6 + 2 + 8/3] = 41/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 2 - x равна 41/6.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = -x^2 + 4 ) и ( y = 2 - x ), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения.

   Для этого приравняем уравнения кривых: [ -x^2 + 4 = 2 - x ]

   Приведем уравнение к стандартной форме квадратного уравнения: [ -x^2 + x + 2 = 0 ]

   Умножим все на -1 для облегчения: [ x^2 - x - 2 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

   Найдем корни: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

   Таким образом, ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -1 ).

2. Вычислить площадь между кривыми.

   Площадь между двумя кривыми на интервале ([a, b]) вычисляется как: [ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx ]

   В нашем случае, ( a = -1 ) и ( b = 2 ). Функции ( f(x) ) и ( g(x) ) будут: [ f(x) = 2 - x, \quad g(x) = -x^2 + 4 ]

   Таким образом, интеграл будет: [ \int{-1}^{2} [(2 - x) - (-x^2 + 4)] \, dx = \int{-1}^{2} (-x^2 + x - 2) \, dx ]

3. Вычислить интеграл.

   Теперь вычислим интеграл: [ \int (-x^2 + x - 2) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{-1}^{2} ]

   Подставим пределы интегрирования: [ \left[-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 \right] - \left[-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} - 2 \cdot (-1) \right] ]

   Упрощаем: [ \left[-\frac{8}{3} + 2 - 4 \right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2 \right] ]

   [ = \left[-\frac{8}{3} - 2 \right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2 \right] ]

   [ = \left[-\frac{14}{3} \right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{3}{6} + \frac{12}{6}\right] ]

   [ = \left[-\frac{14}{3} \right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{15}{6}\right] ]

   [ = -\frac{14}{3} - \frac{1}{3} - \frac{15}{6} ]

   Приведем к общему знаменателю: [ = -\frac{14}{3} - \frac{1}{3} - \frac{5}{2} ]

   [ = -\frac{15}{3} - \frac{5}{2} ]

   [ = -5 - 2.5 = -7.5 ]

   Площадь равна ( 7.5 ).

4. Графическое представление.

   Нарисуйте графики функций ( y = -x^2 + 4 ) и ( y = 2 - x ). Точки пересечения находятся в ( x = -1 ) и ( x = 2 ). Площадь между этими кривыми и осью ( x ) на отрезке ([-1, 2]) и является искомой площадью.

Таким образом, площадь фигуры равна 7.5.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+4 и y=2-x, необходимо найти точки их пересечения и провести соответствующие интегралы. Решение с рисунком можно найти на математических ресурсах или в учебниках по алгебре.