Вычислите значкние производной функции у=3х^2-12корень из х в точке х0=4

Для вычисления производной функции y=3x^2-12√x в точке x0=4 необходимо найти производную этой функции и подставить значение x=4.

Сначала найдем производную функции y=3x^2-12√x. Для этого раскроем корень из x как x^(1/2):

y'=d(3x^2)/dx - d(12x^(1/2))/dx y'=6x - 6/x^(1/2) y'=6x - 6/√x

Теперь найдем значение производной в точке x0=4:

y'(4) = 6*4 - 6/√4 y'(4) = 24 - 6/2 y'(4) = 24 - 3 y'(4) = 21

Таким образом, значение производной функции y=3x^2-12√x в точке x0=4 равно 21.

Для вычисления значения производной функции ( y = 3x^2 - 12\sqrt{x} ) в точке ( x_0 = 4 ), следуем следующим шагам:

1. Найдем общую форму производной функции:

   Начнем с функции ( y = 3x^2 - 12\sqrt{x} ).

   • Первая часть функции ( 3x^2 ): Производная ( 3x^2 ) по ( x ) равна ( 6x ).

   • Вторая часть функции ( -12\sqrt{x} ): Перепишем ( \sqrt{x} ) как ( x^{1/2} ). Производная ( x^{1/2} ) равна ( \frac{1}{2}x^{-1/2} ), поэтому производная ( -12x^{1/2} ) равна ( -12 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} ), что упрощается до ( -6x^{-1/2} ) или ( -\frac{6}{\sqrt{x}} ).

   Таким образом, общая производная функции ( y ) по ( x ) будет: [ y' = 6x - \frac{6}{\sqrt{x}} ]

2. Подставим точку ( x_0 = 4 ) в производную:

   Теперь подставим ( x = 4 ) в полученную производную: [ y'(4) = 6 \cdot 4 - \frac{6}{\sqrt{4}} ]

   • Вычислим ( 6 \cdot 4 ): [ 6 \cdot 4 = 24 ]

   • Вычислим ( \frac{6}{\sqrt{4}} ): [ \sqrt{4} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{6}{2} = 3 ]

   Таким образом, производная в точке ( x = 4 ) равна: [ y'(4) = 24 - 3 = 21 ]

Итак, значение производной функции ( y = 3x^2 - 12\sqrt{x} ) в точке ( x_0 = 4 ) равно ( 21 ).