Вычислите значение производной функции y= ctg2x в точке x=П/3

Чтобы вычислить значение производной функции ( y = \cot(2x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{3} ), следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции ( y = \cot(2x) ):

   Производная котангенса ( \cot(u) ) по переменной ( u ) равна (-\csc^2(u)). Если у нас функция составная, например, ( \cot(2x) ), то необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции. Это правило гласит, что производную сложной функции ( \cot(2x) ) можно записать как:

   [ \frac{d}{dx}[\cot(2x)] = \frac{d}{du}[\cot(u)] \cdot \frac{du}{dx} ]

   где ( u = 2x ). Таким образом, производная будет:

   [ \frac{d}{dx}[\cot(2x)] = -\csc^2(2x) \cdot \frac{d}{dx}[2x] = -\csc^2(2x) \cdot 2 ]

   Итак, производная функции ( y = \cot(2x) ) равна:

   [ y' = -2\csc^2(2x) ]

2. Подставим ( x = \frac{\pi}{3} ) в производную:

   Теперь нам нужно вычислить значение производной в точке ( x = \frac{\pi}{3} ):

   [ y'\Big|_{x = \frac{\pi}{3}} = -2\csc^2\left(2 \times \frac{\pi}{3}\right) ]

   Посчитаем ( 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} ).

   Значение (\csc\left(\frac{2\pi}{3}\right)) является обратным значением синуса. Синус угла (\frac{2\pi}{3}) равен (\frac{\sqrt{3}}{2}). Следовательно, (\csc\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)} = \frac{2}{\sqrt{3}}).

   Тогда (\csc^2\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}).

3. Подставим найденное значение в производную:

   [ y'\Big|_{x = \frac{\pi}{3}} = -2 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{8}{3} ]

Итак, значение производной функции ( y = \cot(2x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{3} ) равно (-\frac{8}{3}).

Для вычисления производной функции y=ctg2x, нам необходимо применить правило дифференцирования тригонометрических функций.

Функция ctg(x) определяется как котангенс угла x, который равен косинусу угла x, деленному на синус угла x. Таким образом, ctg(x) = cos(x)/sin(x).

При дифференцировании функции y=ctg2x мы можем воспользоваться правилом цепочки, так как у нас есть сложная функция ctg(2x). Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Таким образом, производная функции y=ctg(2x) будет равна -2ctg(2x)*csc^2(2x).

Теперь мы можем вычислить значение производной в точке x=π/3. Подставим x=π/3 в выражение для производной и получим:

-2ctg(2π/3)*csc^2(2π/3).

Далее, зная, что ctg(2π/3)=-√3 и csc(2π/3)=2, мы можем вычислить значение производной в точке x=π/3:

-2(-√3)(2)^2 = -8√3.

Итак, значение производной функции y=ctg(2x) в точке x=π/3 равно -8√3.