ВЫЧИСЛИТЕ ЗНАЧЕНИЯ ОСТАЛЬНЫХ ТРЁХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,ЕСЛИ: 1)tg альфа=8/15 и п<альфа<3п/2
ВЫЧИСЛИТЕ ЗНАЧЕНИЯ ОСТАЛЬНЫХ ТРЁХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,ЕСЛИ: 1)tg альфа=8/15 и п<альфа<3п/2
Для вычисления остальных трёх тригонометрических функций (синуса, косинуса и секанса) из данной информации, воспользуемся основными тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.
Дано: ( \tan \alpha = \frac{8}{15} ) и ( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ).
Поскольку ( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ), это означает, что угол (\alpha) находится в третьей четверти. В третьей четверти тангенс положительный, а синус и косинус отрицательные.
Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы ( r ): [ r = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 ]
Теперь у нас есть стороны треугольника: противолежащий катет = 8, прилежащий катет = 15, гипотенуза = 17.
[ \sin \alpha = -\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = -\frac{8}{17} ]
[ \cos \alpha = -\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = -\frac{15}{17} ]
[ \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = -\frac{17}{15} ]
[ \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = -\frac{17}{8} ]
[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{15}{8} ]
Итак, значения остальных тригонометрических функций для данного угла:
[ \sin \alpha = -\frac{8}{17} ]
[ \cos \alpha = -\frac{15}{17} ]
[ \sec \alpha = -\frac{17}{15} ]
[ \csc \alpha = -\frac{17}{8} ]
[ \cot \alpha = \frac{15}{8} ]
Дано: tg α = 8/15, π < α < 3π/2
Мы знаем, что tg α = sin α / cos α. Также, мы знаем, что α лежит во втором квадранте, где sin α > 0 и cos α < 0.
Из этого следует, что sin α = 8, cos α = -15 (так как sin α > 0 и cos α < 0 во втором квадранте).
Теперь мы можем найти остальные тригонометрические функции:
cos α = -15/17 (по теореме Пифагора: sin^2 α + cos^2 α = 1) cot α = cos α / sin α = -15/8 sec α = 1 / cos α = -17/15 csc α = 1 / sin α = 1/8
Итак, значения остальных трех тригонометрических функций для данного угла α равны: cos α = -15/17 cot α = -15/8 sec α = -17/15 csc α = 1/8.
