Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=4/x,y=4,x=4 Очень нужно до завтра(

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{4}{x} ), ( y = 4 ), и ( x = 4 ), сначала определим область, которую они ограничивают.

1. Определение границ:

   • График ( y = \frac{4}{x} ) — это гипербола.
   • Линия ( y = 4 ) — это горизонтальная прямая.
   • Линия ( x = 4 ) — это вертикальная прямая.

2. Область пересечения:

   • Нам нужно найти точки пересечения графиков, чтобы определить границы интегрирования.
   • Пересечение ( y = \frac{4}{x} ) и ( y = 4 ): [ \frac{4}{x} = 4 \implies x = 1. ] Таким образом, гипербола пересекает линию ( y = 4 ) в точке ( (1, 4) ).
   • Пересечение ( x = 4 ) с ( y = \frac{4}{x} ): [ y = \frac{4}{4} = 1. ] Таким образом, гипербола пересекает линию ( x = 4 ) в точке ( (4, 1) ).

3. Область интегрирования:

   • Интегрируем по ( x ) от 1 до 4, так как это границы области на оси ( x ).

4. Вычисление площади:

   • Площадь между кривыми ( y = 4 ) и ( y = \frac{4}{x} ) от ( x = 1 ) до ( x = 4 ): [ A = \int_{1}^{4} \left(4 - \frac{4}{x}\right) \, dx. ]

5. Вычисление интеграла: [ A = \int{1}^{4} 4 \, dx - \int{1}^{4} \frac{4}{x} \, dx. ]

   • Первый интеграл: [ \int{1}^{4} 4 \, dx = 4[x]{1}^{4} = 4(4 - 1) = 12. ]

   • Второй интеграл: [ \int{1}^{4} \frac{4}{x} \, dx = 4[\ln|x|]{1}^{4} = 4(\ln 4 - \ln 1) = 4 \ln 4. ]

6. Итоговая площадь: [ A = 12 - 4 \ln 4. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна ( 12 - 4 \ln 4 ).

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=4/x, y=4 и x=4, нужно найти точки пересечения этих линий.

1. Начнем с линии y=4/x. При x=4 y=1, при x=1 y=4 и при x=2 y=2. Таким образом, точки пересечения с осями координат: (4,1), (1,4), (2,2).
2. Линия y=4 является горизонтальной и проходит через точку (0,4).
3. Линия x=4 является вертикальной и проходит через точку (4,0).

Теперь построим график и найдем область, ограниченную этими линиями. После этого можно разбить фигуру на две части: треугольник и фигуру, ограниченную линиями y=4/x и y=4.

1. Площадь треугольника можно найти по формуле S = 1/2 основание высота. В данном случае основание равно 3 (4-1), а высота равна 3 (4-1). Таким образом, S1 = 1/2 3 3 = 4.5.

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями y=4/x и y=4, можно найти при помощи определенного интеграла. Интеграл от 4 до 1 (4/x - 4) dx = [4ln|x| - 4x] от 4 до 1 = (4ln|1| - 41) - (4ln|4| - 44) = -16 + 16ln(4) = 4.36.

Итак, общая площадь фигуры, ограниченной линиями y=4/x, y=4 и x=4, равна 4.5 + 4.36 = 8.86.