Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x+5 и y=5

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя заданными функциями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого мы приравниваем две функции друг к другу: x^2 - 4x + 5 = 5. Решая это уравнение, получаем x^2 - 4x = 0, что можно факторизовать как x(x-4) = 0. Отсюда получаем два значения x: x=0 и x=4.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставляем каждое из найденных значений x обратно в исходные функции. Получаем y(0) = 5 и y(4) = 5. Таким образом, точки пересечения функций - (0,5) и (4,5).

Площадь фигуры между этими двумя кривыми можно найти с помощью определенного интеграла от функции, которая задает верхнюю кривую (в данном случае y=5) до функции, которая задает нижнюю кривую (y=x^2-4x+5). Интеграл будет иметь вид ∫[0,4] (5 - (x^2 - 4x + 5)) dx.

Вычисляя данный интеграл, получим площадь фигуры между этими двумя кривыми.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 4x + 5 ) и ( y = 5 ), нужно сначала определить точки пересечения этих линий. Это поможет понять, в каких пределах интегрировать.

1. Найдем точки пересечения:

   Для этого приравняем уравнения: [ x^2 - 4x + 5 = 5 ]

   Упростим уравнение: [ x^2 - 4x + 5 - 5 = 0 \implies x^2 - 4x = 0 ]

   Решим это уравнение, вынеся ( x ) за скобки: [ x(x - 4) = 0 ]

   Отсюда получаем два корня: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 ]

   Таким образом, точки пересечения линий — ( x = 0 ) и ( x = 4 ).

2. Определим пределы интегрирования:

   Пределы интегрирования будут от ( x = 0 ) до ( x = 4 ).

3. Запишем интеграл для нахождения площади:

   Площадь между кривыми ( y = f(x) ) и ( y = g(x) ) на промежутке от ( a ) до ( b ) вычисляется по формуле: [ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx ]

   В нашем случае ( g(x) = 5 ) и ( f(x) = x^2 - 4x + 5 ). Таким образом, интеграл примет вид: [ \text{Площадь} = \int_{0}^{4} (5 - (x^2 - 4x + 5)) \, dx ]

   Упростим подынтегральное выражение: [ 5 - (x^2 - 4x + 5) = 5 - x^2 + 4x - 5 = -x^2 + 4x ]

4. Вычислим интеграл:

   [ \text{Площадь} = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx ]

   Разделим интеграл на два: [ \text{Площадь} = \int{0}^{4} -x^2 \, dx + \int{0}^{4} 4x \, dx ]

   Вычислим каждый из них по отдельности: [ \int{0}^{4} -x^2 \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{4} = -\left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = -\frac{64}{3} ]

   [ \int{0}^{4} 4x \, dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]{0}^{4} = 4 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 4 \cdot 8 = 32 ]

   Теперь сложим результаты: [ \text{Площадь} = -\frac{64}{3} + 32 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 4x + 5 ) и ( y = 5 ), равна ( \frac{32}{3} ) квадратных единиц.