Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y =4x-x 2 y= 4-x

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x - x^2 и y = 4 - x, следует найти точки их пересечения, чтобы определить границы фигуры. Для этого приравняем уравнения и найдем точки пересечения:

4x - x^2 = 4 - x x^2 - 3x + 4 = 0

Далее решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = (-3)^2 - 414 = 9 - 16 = -7

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Поскольку у нас нет точек пересечения, то искомая фигура является пустым множеством, и ее площадь равна 0.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 4x - x^2 ) и ( y = 4 - x ), нужно сначала определить точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем их:

[ 4x - x^2 = 4 - x. ]

Перепишем уравнение:

[ x^2 - 5x + 4 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9. ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}. ]

Следовательно, корни:

[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, ] [ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1. ]

Теперь у нас есть точки пересечения ( x = 1 ) и ( x = 4 ).

Следующим шагом является вычисление площади фигуры между кривыми на отрезке от ( x = 1 ) до ( x = 4 ). Для этого найдем интеграл разности функций:

[ \text{Площадь} = \int_{1}^{4} ((4 - x) - (4x - x^2)) \, dx. ]

Упростим подынтегральное выражение:

[ (4 - x) - (4x - x^2) = 4 - x - 4x + x^2 = x^2 - 5x + 4. ]

Теперь вычислим интеграл:

[ \int_{1}^{4} (x^2 - 5x + 4) \, dx. ]

Рассчитаем интеграл:

[ \int (x^2 - 5x + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x + C. ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4}. ]

Вычислим значения на концах интервала:

1. Для ( x = 4 ):

[ \frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 = \frac{64}{3} - \frac{80}{2} + 16 = \frac{64}{3} - 40 + 16 = \frac{64}{3} - 24 = \frac{64 - 72}{3} = \frac{-8}{3}. ]

1. Для ( x = 1 ):

[ \frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1 = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{3} - \frac{15}{6} + \frac{24}{6} = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{11}{6}. ]

Теперь найдем разность:

[ \left( \frac{-8}{3} \right) - \left( \frac{11}{6} \right) = \frac{-16}{6} - \frac{11}{6} = \frac{-27}{6} = -\frac{9}{2}. ]

Поскольку площадь не может быть отрицательной, возьмем абсолютное значение:

[ \text{Площадь} = \frac{9}{2}. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна (\frac{9}{2}) квадратных единиц.