Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1/x, y=0, x=1, x=5 Ответ подробный)

Для начала находим точки пересечения данных линий.

1. Найдем точку пересечения кривой y=1/x с осью абсцисс (y=0): 0 = 1/x x = 0 Точка пересечения: (0,0)

2. Найдем точки пересечения кривой y=1/x с прямыми x=1 и x=5: y = 1/1 = 1 y = 1/5 Точки пересечения: (1,1) и (5,1)

Теперь построим график и найдем площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Площадь фигуры можно найти как интеграл от функции y=1/x от x=1 до x=5. Таким образом, площадь равна:

S = ∫[1,5] (1/x) dx = ln|x| from 1 to 5 = ln|5| - ln|1| = ln(5)

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x, y=0, x=1, x=5, равна ln(5).

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{1}{x} ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 5 ), воспользуемся определенным интегралом. Данная фигура находится под графиком функции ( y = \frac{1}{x} ) и между вертикальными прямыми ( x = 1 ) и ( x = 5 ), а также ограничена снизу прямой ( y = 0 ).

Площадь ( A ) фигуры можно выразить как интеграл функции ( y = \frac{1}{x} ) от ( x = 1 ) до ( x = 5 ):

[ A = \int_{1}^{5} \frac{1}{x} \, dx ]

Теперь вычислим этот интеграл. Интеграл от функции ( \frac{1}{x} ) есть натуральный логарифм ( \ln|x| ):

[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C ]

Где ( C ) — константа интегрирования. Для определенного интеграла константа интегрирования не нужна, поэтому подставим пределы интегрирования:

[ A = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{5} ]

Это означает, что нам нужно вычислить значение первообразной функции на верхнем пределе интегрирования и вычесть значение на нижнем пределе:

[ A = \ln|5| - \ln|1| ]

Поскольку ( \ln|1| = \ln(1) = 0 ), то:

[ A = \ln(5) - 0 ] [ A = \ln(5) ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{1}{x} ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 5 ), равна ( \ln(5) ).