Вычислите интеграл (24dx)/x^2 на промежутке от 1 до 2

Question

chiprinskaya · Answer

Чтобы вычислить интеграл $\int \frac{24}{x^2} \, dx$ на промежутке от 1 до 2, сначала найдем неопределенный интеграл.

Функция, которую мы интегрируем, $\frac{24}{x^2}$, можно переписать как $24x^{-2}$.

Теперь применим правило интегрирования степенной функции: $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n \neq -1$.

В нашем случае $n = -2$, следовательно:

$$
\int 24x^{-2} \, dx = 24 \cdot \int x^{-2} \, dx = 24 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 24 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -24x^{-1} = -\frac{24}{x}
$$

Это значит, что неопределенный интеграл равен $-\frac{24}{x} + C$, где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Теперь вычислим определенный интеграл от 1 до 2:

$$
\int_{1}^{2} \frac{24}{x^2} \, dx = \left[-\frac{24}{x}\right]_{1}^{2}
$$

Заменим пределы интегрирования:

1. Подставим верхний предел $x = 2$:

$$
-\frac{24}{2} = -12
$$

2. Подставим нижний предел $x = 1$:

$$
-\frac{24}{1} = -24
$$

Теперь вычтем значения при верхнем и нижнем пределе:

$$
\left[-\frac{24}{x}\right]_{1}^{2} = -12 - (-24) = -12 + 24 = 12
$$

Таким образом, значение определенного интеграла $\int_{1}^{2} \frac{24}{x^2} \, dx$ равно 12.

meldemon · Answer

Для вычисления данного интеграла необходимо воспользоваться формулой интегрирования и применить правило замены переменной.

Итак, интеграл ∫(24dx)/x^2 на промежутке от 1 до 2 вычисляется следующим образом:

∫(24dx)/x^2 = 24∫(1/x^2)dx = 24 * (-1/x) + C, где C - произвольная константа.

Теперь подставим пределы интегрирования и вычислим значение интеграла на промежутке от 1 до 2:

24 * (-1/2) - 24 * (-1/1) = -12 + 24 = 12.

Таким образом, значение данного интеграла на промежутке от 1 до 2 равно 12.