Вычислить tg 7пи/16 - tg 3пи/16/1+tg 7пи/16*tg3пи/16

Чтобы вычислить выражение (\frac{\tan\left(\frac{7\pi}{16}\right) - \tan\left(\frac{3\pi}{16}\right)}{1 + \tan\left(\frac{7\pi}{16}\right) \tan\left(\frac{3\pi}{16}\right)}), можно воспользоваться формулой для разности тангенсов:

[ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} ]

В данном выражении (a = \frac{7\pi}{16}) и (b = \frac{3\pi}{16}). Тогда имеем:

[ a - b = \frac{7\pi}{16} - \frac{3\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4} ]

Известно, что (\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1). Следовательно:

[ \frac{\tan\left(\frac{7\pi}{16}\right) - \tan\left(\frac{3\pi}{16}\right)}{1 + \tan\left(\frac{7\pi}{16}\right) \tan\left(\frac{3\pi}{16}\right)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 ]

Таким образом, значение выражения равно 1.

Для решения данного выражения воспользуемся формулой разности тангенсов: tg(a-b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b).

Имеем: tg(7π/16) - tg(3π/16) / (1 + tg(7π/16) * tg(3π/16)). Подставляем значения тангенсов: tg(7π/16) = tg(π/2 - 9π/16) = cot(9π/16) = -cot(π/16), tg(3π/16) = tg(π/2 - 13π/16) = cot(13π/16) = -cot(3π/16).

Подставляем полученные значения в выражение: (-cot(9π/16) + cot(13π/16)) / (1 + (-cot(9π/16) cot(13π/16)) = (cot(13π/16) - cot(9π/16)) / (1 - cot(9π/16) cot(13π/16)).

Теперь можем использовать формулу для разности котангенсов: cot(a-b) = (cot a cot b + 1) / (cot b - cot a). Подставляем значения: (cot(13π/16) cot(9π/16) + 1) / (cot(9π/16) - cot(13π/16)) / (1 - cot(9π/16) cot(13π/16)) = (cot(13π/16) cot(9π/16) + 1) / (cot(9π/16) - cot(13π/16) - cot(9π/16) * cot(13π/16)).

Далее подставляем значения котангенсов и производим вычисления, получаем итоговый ответ.