Вычислить представив аргумент в виде суммы или разности sin 75 градусов

Для вычисления sin 75 градусов воспользуемся формулой синуса суммы углов. Разложим 75 градусов на два угла: 45 градусов и 30 градусов. Тогда sin 75 градусов = sin (45 + 30) = sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30. Подставив значения sin 45 = √2/2, cos 45 = √2/2, sin 30 = 1/2, cos 30 = √3/2, получаем sin 75 градусов = (√2/2 √3/2) + (√2/2 1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2) / 4. Таким образом, sin 75 градусов равен (√6 + √2) / 4.

Для вычисления (\sin 75^\circ) можно воспользоваться формулами для синуса суммы или разности углов. Рассмотрим два угла, сумма которых равна 75 градусов и для которых синусы и косинусы известны. В данном случае удобно использовать углы 45 градусов и 30 градусов, поскольку их значения хорошо известны:

[ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ ]

Используем формулу для синуса суммы углов:

[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b ]

Подставляем (a = 45^\circ) и (b = 30^\circ):

[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) ]

Теперь подставим значения синусов и косинусов этих углов:

[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Подставляем эти значения в формулу:

[ \sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ ] [ \sin 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) ]

Теперь произведем умножение и сложение:

[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{4} ] [ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} ]

Сложим дроби:

[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Таким образом, значение (\sin 75^\circ) выражается как:

[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Это и есть точное значение синуса угла 75 градусов.

sin 75 градусов можно представить как сумму sin 45 градусов и sin 30 градусов.