Вычислить интеграл: интеграл от 0 до 1 $2{х}^2+3$dx

Чтобы вычислить данный интеграл, начнем с записи интегрального выражения:

${\int }_0^1(2x^2+3)dx$

Для решения этого интеграла, мы разобьем его на два отдельных интеграла:

${\int }_0^{1}2x^{2}dx+{\int }_0^{1}3dx$

Рассмотрим каждый интеграл по отдельности:

1. Интегрирование $2x^2$:

$\int 2x^{2}dx=\frac{2}{3}{x}^3+C$

Вычислим его на интервале от 0 до 1:

$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_0^1 = \frac{2}{3}$1$^3 - \frac{2}{3}$0$^3 = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} ]

1. Интегрирование константы 3:

$\int 3dx=3x+C$

Вычислим его на интервале от 0 до 1:

$[3x$_0^1 = 3$1$ - 3$0$ = 3 - 0 = 3 ]

Теперь сложим результаты двух интегралов:

$\frac{2}{3}+3=\frac{2}{3}+\frac{9}{3}=\frac{11}{3}$

Таким образом, значение интеграла от 0 до 1 для функции $2x^2+3$ равно $\frac{11}{3}$.

Для вычисления данного интеграла необходимо воспользоваться формулой интегрирования полиномов. Для каждого слагаемого внутри скобок проведем интегрирование: ∫$2x^2+3$dx = ∫2x^2dx + ∫3dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: ∫2x^2dx = 2∫x^2dx = 2 $x^3/3$ = 2/3 x^3 ∫3dx = 3∫dx = 3x

Теперь объединим результаты интегрирования слагаемых: ∫$2x^2+3$dx = 2/3 * x^3 + 3x

Теперь вычислим значение данного выражения на отрезке $0,1$: Подставим верхний предел интегрирования $x=1$: 2/3 1^3 + 3 1 = 2/3 + 3 = 2/3 + 9/3 = 11/3

Подставим нижний предел интегрирования $x=0$: 2/3 0^3 + 3 0 = 0

Теперь вычтем значение интеграла в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: 11/3 - 0 = 11/3

Итак, значение данного интеграла на отрезке $0,1$ равно 11/3.

Интеграл от $2x^2+3$dx на отрезке от 0 до 1 равен 7/3.