Велосипедист едет сначала 2 минуты с горы, а затем 6 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз скорость велосипедиста при движении с горы больше, чем скорость при движении в гору? (Считайте, что скорость движения с горы одинакова в обоих направлениях; это же относится и к скорости движения в гору.) Можно с таблицей?
Пусть скорость велосипедиста при движении с горы равна V, а скорость при движении в гору равна V'.
Тогда расстояние, которое проходит велосипедист за 2 минуты с горы, равно 2V. Расстояние, которое он проходит за 6 минут в гору, равно 6V'. Обратный путь он проходит за 13 минут, то есть 13V.
Таким образом, у нас есть следующие уравнения: 2V = 6V' 6V' = 13V
Из первого уравнения найдем, что V' = 1/3V. Подставим это значение во второе уравнение: 6 * (1/3V) = 13V 2V = 13V V = 1/6
Таким образом, скорость велосипедиста при движении с горы равна 1/6, а скорость при движении в гору равна 1/18. Следовательно, скорость велосипедиста при движении с горы больше, чем скорость при движении в гору, в 3 раза (1/6 : 1/18 = 3).
Таблица: | Движение с горы | Движение в гору | |-----------------|-----------------| | 1/6 | 1/18 |
Для решения задачи используем алгебраический подход с переменными для скоростей.
Обозначим:
Из условия задачи известно, что велосипедист едет сначала 2 минуты с горы, затем 6 минут в гору. Общее время в одну сторону составляет (2 + 6 = 8) минут. Путь, пройденный велосипедистом в одну сторону, можно представить как сумму пути с горы и пути в гору: [ s = v_1 \cdot 2 + v_2 \cdot 6. ]
Обратный путь ( s ) велосипедист проходит за 13 минут при той же скорости ( v_1 ) с горы и ( v_2 ) в гору: [ s = v_2 \cdot t_2 + v_1 \cdot t_1, ] где ( t_2 ) и ( t_1 ) — время прохождения пути в гору и с горы соответственно в обратном направлении.
Из уравнения пути и времени для прямого и обратного пути, можно выразить ( s ) через ( v_1 ) и ( v_2 ): [ v_1 \cdot 2 + v_2 \cdot 6 = v_2 \cdot t_2 + v_1 \cdot t_1. ] Так как общее время обратного пути 13 минут, имеем: [ t_1 + t_2 = 13. ]
Используем уравнения для нахождения ( t_1 ) и ( t_2 ):
Подставляя ( t_1 = 13 - t_2 ) в первое уравнение: [ 2v_1 + 6v_2 = t_2v_2 + (13 - t_2)v_1. ] Раскрываем скобки и упрощаем: [ 2v_1 + 6v_2 = 13v_1 - t_2v_1 + t_2v_2. ] [ 2v_1 + 6v_2 = 13v_1 + t_2(v_2 - v_1). ] [ t_2 = \frac{13v_1 - 2v_1 - 6v_2}{v_2 - v_1} = \frac{11v_1 - 6v_2}{v_2 - v_1}. ]
Так как общий путь одинаков, то можно предположить, что обратный путь разделён поровну: [ t_2 = t_1 = 6.5 \text{ минут}. ] Тогда: [ 2v_1 + 6v_2 = 6.5v_2 + 6.5v_1. ] [ 2v_1 - 6.5v_1 + 6v_2 - 6.5v_2 = 0. ] [ -4.5v_1 + 0.5v_2 = 0. ] [ v_1 = \frac{0.5v_2}{4.5} = \frac{v_2}{9}. ]
Следовательно, скорость велосипедиста при движении с горы в 9 раз больше, чем скорость при движении в гору.
