В треугольники ABC угол А на 30 градусов больше угла B ,в угол С в 2 раза меньше угла А.Вычислите величины...

Для решения задачи следует воспользоваться основным свойством треугольника: сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. Пусть обозначим углы ( A ), ( B ), и ( C ). Зададим их в терминах одной переменной.

Шаг 1: Введение переменной

Пусть угол ( B ) равен ( x ) (в градусах). Тогда угол ( A ) больше угла ( B ) на 30 градусов, то есть: [ A = x + 30. ] Также дано, что угол ( C ) в 2 раза меньше угла ( A ): [ C = \frac{A}{2}. ]

Шаг 2: Запись условия суммы углов

Сумма углов треугольника равна 180 градусам: [ A + B + C = 180. ] Подставим выражения для ( A ), ( B ), и ( C ) через ( x ): [ (x + 30) + x + \frac{x + 30}{2} = 180. ]

Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду

Объединим подобные слагаемые. Сначала избавимся от дроби, умножив всё уравнение на 2: [ 2(x + 30) + 2x + (x + 30) = 360. ] Раскроем скобки: [ 2x + 60 + 2x + x + 30 = 360. ] Сложим все ( x ) и числа: [ 5x + 90 = 360. ] Вычтем 90 из обеих частей: [ 5x = 270. ] Разделим обе части на 5: [ x = 54. ]

Шаг 4: Подстановка и вычисление углов

Теперь найдём все углы:

• Угол ( B = x = 54 ) градуса.
• Угол ( A = x + 30 = 54 + 30 = 84 ) градуса.
• Угол ( C = \frac{A}{2} = \frac{84}{2} = 42 ) градуса.

Шаг 5: Проверка

Сумма углов: [ A + B + C = 84 + 54 + 42 = 180. ] Условие выполнено.

Ответ:

Углы треугольника: [ A = 84^\circ, \, B = 54^\circ, \, C = 42^\circ. ]

Обозначим угол B как ( x ). Тогда угол A будет ( x + 30^\circ ), а угол C будет ( \frac{1}{2}(x + 30^\circ) ).

Согласно свойству треугольника, сумма углов равна 180 градусов:

[ x + (x + 30^\circ) + \frac{1}{2}(x + 30^\circ) = 180^\circ ]

Упрощаем уравнение:

[ x + x + 30^\circ + \frac{1}{2}x + 15^\circ = 180^\circ ]

[ 2x + 45^\circ + \frac{1}{2}x = 180^\circ ]

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:

[ 4x + 90^\circ + x = 360^\circ ]

[ 5x + 90^\circ = 360^\circ ]

[ 5x = 270^\circ ]

[ x = 54^\circ ]

Теперь подставим значение ( x ) для нахождения углов A и C:

• Угол B ( = 54^\circ )
• Угол A ( = 54^\circ + 30^\circ = 84^\circ )
• Угол C ( = \frac{1}{2}(84^\circ) = 42^\circ )

Таким образом, углы треугольника ABC равны:

• Угол A: ( 84^\circ )
• Угол B: ( 54^\circ )
• Угол C: ( 42^\circ )

Для нахождения величин углов треугольника ABC, обозначим углы следующим образом:

• Угол A = α
• Угол B = β
• Угол C = γ

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие зависимости:

1. Угол A на 30 градусов больше угла B: [ α = β + 30° ]

2. Угол C в 2 раза меньше угла A: [ γ = \frac{α}{2} ]

Также известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов: [ α + β + γ = 180° ]

Теперь подставим выражения для углов A и C в уравнение суммы углов:

Подставим значение угла C: [ α + β + \frac{α}{2} = 180° ]

Теперь объединим углы A. Угол A можно выразить как: [ \frac{3α}{2} + β = 180° ]

Теперь подставим выражение для угла A из первого уравнения: [ \frac{3(β + 30°)}{2} + β = 180° ]

Упростим это уравнение: [ \frac{3β + 90°}{2} + β = 180° ]

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 3β + 90° + 2β = 360° ]

Объединим подобные слагаемые: [ 5β + 90° = 360° ]

Теперь решим для β: [ 5β = 360° - 90° ] [ 5β = 270° ] [ β = \frac{270°}{5} = 54° ]

Теперь, когда мы нашли угол B, можем найти угол A: [ α = β + 30° = 54° + 30° = 84° ]

Теперь найдем угол C: [ γ = \frac{α}{2} = \frac{84°}{2} = 42° ]

Подведем итог. Мы нашли величины углов треугольника ABC:

• Угол A = 84°
• Угол B = 54°
• Угол C = 42°

Проверим сумму углов: [ 84° + 54° + 42° = 180° ]

Таким образом, все условия задачи выполнены, и углы треугольника ABC равны 84°, 54° и 42° соответственно.