В правильный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

В правильном треугольнике все стороны равны, и все углы равны (60^\circ). Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной (a), воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:

[ r = \frac{S}{p} ]

где (S) — площадь треугольника, а (p) — его полупериметр.

1. Вычисление полупериметра (p):

   Полупериметр треугольника определяется как половина суммы длин всех его сторон. В правильном треугольнике все стороны равны (a), поэтому периметр (P) равен (3a). Следовательно, полупериметр будет:

   [ p = \frac{3a}{2} ]

2. Вычисление площади (S):

   Площадь правильного треугольника можно найти с помощью формулы:

   [ S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 ]

3. Подставляем значения в формулу для радиуса (r):

   Теперь, подставляя значения (S) и (p) в формулу для радиуса вписанной окружности:

   [ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3a}{2}} ]

   Сократим дробь:

   [ r = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}a ]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной (a), равен:

[ r = \frac{\sqrt{3}}{6}a ]

Для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный треугольник со стороной а можно воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности в произвольный треугольник:

r = S / p,

где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Для правильного треугольника с стороной а площадь можно вычислить по формуле:

S = (sqrt(3) * a^2) / 4,

а полупериметр равен:

p = 3a / 2.

Подставляя данные значения в формулу для радиуса, получаем:

r = ((sqrt(3) a^2) / 4) / (3a / 2) = (sqrt(3) a) / 6.

Таким образом, радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной а равен (sqrt(3) * a) / 6.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен ( \frac{a}{2\sqrt{3}} ).