В параллели 51 учащийся, среди них два друга — Михаил и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают...

Давайте разберем задачу подробно и найдем вероятность того, что Михаил и Сергей окажутся в одной группе.

Шаг 1. Понять задачу

Итак, в параллели 51 ученик. Их делят случайным образом на 3 равные группы. Чтобы группы были равными, в каждой группе должно оказаться по:

[ \frac{51}{3} = 17 \quad \text{учеников.} ]

Мы ищем вероятность того, что два конкретных ученика (Михаил и Сергей) окажутся в одной группе.

Шаг 2. Общее количество способов распределить учеников

Общее количество способов распределить 51 учащегося на равные группы можно найти с учетом того, что группы неразличимы (то есть перестановка групп не создаёт новый случай). Для этого используется формула:

[ \text{Общее количество разбиений} = \frac{\binom{51}{17} \cdot \binom{34}{17}}{3!}. ]

• (\binom{51}{17}) — число способов выбрать первую группу из 17 человек из 51.
• (\binom{34}{17}) — число способов выбрать вторую группу из оставшихся 34 человек.
• (3!) (или 6) — делим на количество перестановок групп, так как они неразличимы.

Однако для данной задачи нам не нужно считать это число явно, так как мы будем работать с относительными вероятностями.

Шаг 3. Условие, что Михаил и Сергей в одной группе

Чтобы Михаил и Сергей оказались в одной группе, давайте мысленно поместим их в одну группу и посмотрим, сколько вариантов остается для остальных учеников.

1. Если Михаил и Сергей уже в одной группе, то в этой группе уже 2 места заняты. Оставшиеся (17 - 2 = 15) мест нужно заполнить другими учениками. Для этого мы выбираем 15 человек из оставшихся 49 учеников (так как Михаил и Сергей уже учтены):

[ \binom{49}{15}. ]

1. После формирования первой группы (с Михаилом и Сергеем), оставшихся 34 учащихся нужно распределить на 2 группы по 17 человек. Это можно сделать следующим образом:

[ \frac{\binom{34}{17}}{2!}, ]

где (\binom{34}{17}) — выбор второй группы, а (2!) учитывает неразличимость оставшихся двух групп.

1. Таким образом, количество способов распределить учеников с условием, что Михаил и Сергей в одной группе:

[ \binom{49}{15} \cdot \frac{\binom{34}{17}}{2!}. ]

Шаг 4. Вероятность

Вероятность того, что Михаил и Сергей окажутся в одной группе, равна отношению числа благоприятных исходов (определено выше) к общему числу исходов (определено в шаге 2):

[ P = \frac{\binom{49}{15} \cdot \frac{\binom{34}{17}}{2!}}{\frac{\binom{51}{17} \cdot \binom{34}{17}}{3!}}. ]

Упростим эту дробь. Заметим, что (\binom{34}{17}) присутствует в числителе и знаменателе, и (3! = 6), (2! = 2). После сокращения остаётся:

[ P = \frac{\binom{49}{15}}{\binom{51}{17}} \cdot \frac{3}{1}. ]

Шаг 5. Вычисление биномиальных коэффициентов

Формула биномиального коэффициента:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. ]

Подставим значения:

1. (\binom{51}{17} = \frac{51!}{17! \cdot 34!}),
2. (\binom{49}{15} = \frac{49!}{15! \cdot 34!}).

Подставим эти выражения в формулу вероятности:

[ P = \frac{\frac{49!}{15! \cdot 34!}}{\frac{51!}{17! \cdot 34!}} \cdot 3 = \frac{49! \cdot 17!}{51! \cdot 15!} \cdot 3. ]

Упростим факториалы. Напомним, что (51! = 51 \cdot 50 \cdot 49!). Подставим это:

[ P = \frac{49! \cdot 17!}{(51 \cdot 50 \cdot 49!) \cdot 15!} \cdot 3 = \frac{17!}{51 \cdot 50 \cdot 15!} \cdot 3. ]

Разложим (17!) как (17 \cdot 16 \cdot 15!), чтобы сократить (15!):

[ P = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15!}{51 \cdot 50 \cdot 15!} \cdot 3 = \frac{17 \cdot 16}{51 \cdot 50} \cdot 3. ]

Сократим дробь:

[ P = \frac{17 \cdot 16 \cdot 3}{51 \cdot 50} = \frac{816}{2550}. ]

Сократим на 6:

[ P = \frac{136}{425}. ]

Ответ:

Вероятность того, что Михаил и Сергей окажутся в одной группе, равна:

[ \boxed{\frac{136}{425}} \approx 0.32 \, (32\%). ]

Для решения задачи о вероятности того, что Михаил и Сергей окажутся в одной группе, начнем с общего количества учащихся и их распределения по группам.

1. Общее количество учащихся: 51.
2. Количество групп: 3.
3. Количество учащихся в каждой группе: ( \frac{51}{3} = 17 ).

Теперь определим общее количество способов разбить 51 учащегося на 3 группы по 17 человек.

1. Общее количество способов разбить учащихся на группы

Количество способов разбить ( n ) учащихся на ( k ) групп по ( m_1, m_2, \ldots, m_k ) человек в каждой группе можно найти по формуле: [ \frac{n!}{m_1! \cdot m_2! \cdots m_k! \cdot k!} ] где ( n! ) — факториал от общего числа учащихся, ( m_i! ) — факториал от числа учащихся в каждой группе, а ( k! ) — факториал от числа групп (для устранения дублирования при перестановках групп).

В нашем случае:

• ( n = 51 ),
• ( m_1 = m_2 = m_3 = 17 ),
• ( k = 3 ).

Таким образом, общее количество способов разбить учащихся на группы будет равно: [ \frac{51!}{17! \cdot 17! \cdot 17! \cdot 3!} ]

2. Количество способов, чтобы Михаил и Сергей были в одной группе

Если Михаил и Сергей должны быть в одной группе, сначала мы можем рассмотреть их как одного "составного" учащегося. Тогда у нас получится 50 "учащихся" (Михаил и Сергей вместе как один) и нужно разбить их на 3 группы, из которых одна группа будет содержать Михаила и Сергея.

Теперь мы должны распределить оставшихся 48 учащихся в 3 группы по 17, но теперь в одной из групп уже есть 2 человека (Михаил и Сергей). Следовательно, в этой группе должно быть 15 других учащихся, а в двух остальных группах по 17 учащихся.

Общее количество учащихся в группах:

• В группе с Михаилом и Сергеем: 17 (из них 2 — Михаил и Сергей).
• В каждой из двух других групп: 17.

Таким образом, количество способов разбить 50 учащихся на 3 группы (одна из которых должна содержать 15 других учащихся) будет: [ \frac{50!}{15! \cdot 17! \cdot 17! \cdot 3!} ]

3. Вероятность

Теперь мы можем найти вероятность того, что Михаил и Сергей окажутся в одной группе, используя соотношение успешных исходов к общему количеству исходов: [ P = \frac{\text{число способов, чтобы Михаил и Сергей были в одной группе}}{\text{общее количество способов разбить учащихся на группы}} ] Подставим наши значения: [ P = \frac{\frac{50!}{15! \cdot 17! \cdot 17! \cdot 3!}}{\frac{51!}{17! \cdot 17! \cdot 17! \cdot 3!}} = \frac{50! \cdot 17!}{51! \cdot 15!} ]

Поскольку ( 51! = 51 \cdot 50! ), мы можем упростить: [ P = \frac{17!}{51 \cdot 15!} = \frac{17 \cdot 16}{51} = \frac{272}{51} = \frac{272}{51} \approx 0.5333 ]

Таким образом, вероятность того, что Михаил и Сергей окажутся в одной группе, составляет примерно ( \frac{16}{51} ) или около 0.3137.