В основании прямого параллелепипеда лежит квадрат диагональ параллелепипеда равна d и образует с плоскостью...

а) Боковая поверхность параллелепипеда равна S = 4d^2 sin(a). б) Площадь диагонального сечения равна S_diag = 2d^2 sin(a).

а) Боковая поверхность параллелепипеда равна 4dcos(a). б) Площадь диагонального сечения равна 2d^2sin(a).

Для решения данной задачи обозначим стороны основания квадрата как (a), а высоту параллелепипеда как (h).

1. Найдём высоту (h)

Диагональ основания параллелепипеда, которая является квадратом, будет равна (a\sqrt{2}). Диагональ всего параллелепипеда равна (d) и образует угол (\alpha) с плоскостью боковой грани.

Диагональ параллелепипеда (d) также может быть найдена по теореме Пифагора, как гипотенуза треугольника, образованного диагональю основания и высотой: [ d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} ]

Так как диагональ (d) образует угол (\alpha) с плоскостью боковой грани, то по определению косинуса: [ \cos \alpha = \frac{a\sqrt{2}}{d} ]

Отсюда можно выразить (a\sqrt{2}): [ a\sqrt{2} = d \cos \alpha ]

Подставим это значение в уравнение диагонали: [ d = \sqrt{(d \cos \alpha)^2 + h^2} ] [ d^2 = d^2 \cos^2 \alpha + h^2 ] [ h^2 = d^2 - d^2 \cos^2 \alpha ] [ h^2 = d^2 (1 - \cos^2 \alpha) ] [ h^2 = d^2 \sin^2 \alpha ] [ h = d \sin \alpha ]

2. Найдём сторону основания (a)

Из уравнения: [ a\sqrt{2} = d \cos \alpha ] [ a = \frac{d \cos \alpha}{\sqrt{2}} = \frac{d \cos \alpha}{\sqrt{2}} ]

a) Боковая поверхность параллелепипеда

Боковые грани параллелепипеда состоят из четырёх прямоугольников: две грани с размерами (a \times h) и две грани с размерами (a \times a).

Площадь одной грани с размерами (a \times h): [ S_1 = a \cdot h ]

Площадь одной грани с размерами (a \times a): [ S_2 = a \cdot a = a^2 ]

Общая боковая поверхность: [ S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_1 + 2 \cdot S2 ] [ S{\text{бок}} = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot a^2 ] [ S{\text{бок}} = 2 \cdot \frac{d \cos \alpha}{\sqrt{2}} \cdot d \sin \alpha + 2 \cdot \left( \frac{d \cos \alpha}{\sqrt{2}} \right)^2 ] [ S{\text{бок}} = \frac{2d^2 \cos \alpha \sin \alpha}{\sqrt{2}} + \frac{2d^2 \cos^2 \alpha}{2} ] [ S_{\text{бок}} = \frac{2d^2 \cos \alpha \sin \alpha}{\sqrt{2}} + d^2 \cos^2 \alpha ]

Упростим выражение: [ S_{\text{бок}} = \sqrt{2} d^2 \cos \alpha \sin \alpha + d^2 \cos^2 \alpha ]

б) Площадь диагонального сечения

Диагональное сечение параллелепипеда проходит через его диагональ и параллельно одной из боковых граней. Это прямоугольник с размерами (a\sqrt{2}) и (h).

Площадь диагонального сечения: [ S{\text{диаг}} = a\sqrt{2} \cdot h ] [ S{\text{диаг}} = \left( \frac{d \cos \alpha}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \right) \cdot d \sin \alpha ] [ S{\text{диаг}} = d \cos \alpha \cdot d \sin \alpha ] [ S{\text{диаг}} = d^2 \cos \alpha \sin \alpha ]

Таким образом, мы получили: а) Боковая поверхность параллелепипеда: [ S_{\text{бок}} = \sqrt{2} d^2 \cos \alpha \sin \alpha + d^2 \cos^2 \alpha ]

б) Площадь диагонального сечения: [ S_{\text{диаг}} = d^2 \cos \alpha \sin \alpha ]