В окружности с радиусом 7,5 см проведены диаметр АС и хорда АК равна 9 см найдите длину хорды СК

Длина хорды СК равна 6 см.

Для решения задачи нам нужно найти длину хорды СК в окружности с радиусом 7,5 см, где проведены диаметр АС и хорда АК равна 9 см.

1. Определим основные элементы:

   • Радиус ( R ) окружности равен 7,5 см.
   • Диаметр ( AC ) делит окружность на две равные части и проходит через центр ( O ). Диаметр ( AC ) равен ( 2R = 15 ) см.
   • Хорда ( AK ) длиной 9 см.

2. Построим треугольник:

   • Рассмотрим треугольник ( OAK ), где ( O ) — центр окружности.
   • ( O ) — середина диаметра ( AC ), и следовательно, ( OA = OC = R = 7,5 ) см.
   • Поскольку ( O ) является центром окружности, проведём перпендикуляр ( OM ) к хорде ( AK ), где ( M ) — середина хорды ( AK ). Это перпендикуляр также является высотой треугольника ( OAK ).

3. Найдем длину отрезка ( OM ):

   • ( AK ) делится на два равных отрезка ( AM ) и ( MK ), каждый из которых равен ( \frac{AK}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 ) см.
   • В прямоугольном треугольнике ( OAM ), по теореме Пифагора: [ OA^2 = OM^2 + AM^2 ] Подставим известные значения: [ 7,5^2 = OM^2 + 4,5^2 ] [ 56,25 = OM^2 + 20,25 ] [ OM^2 = 56,25 - 20,25 = 36 ] [ OM = \sqrt{36} = 6 \text{ см} ]

4. Найдем длину хорды ( CK ):

   • Поскольку ( OM ) является также высотой треугольника ( OCK ) и делит хорду ( CK ) на два равных отрезка ( CM ) и ( MK ).
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник ( OCM ) (где ( OC = R = 7,5 ) см и ( OM = 6 ) см): [ OC^2 = OM^2 + CM^2 ] Подставим известные значения: [ 7,5^2 = 6^2 + CM^2 ] [ 56,25 = 36 + CM^2 ] [ CM^2 = 56,25 - 36 = 20,25 ] [ CM = \sqrt{20,25} = 4,5 \text{ см} ]
   • Следовательно, длина хорды ( CK ) будет: [ CK = 2 \times CM = 2 \times 4,5 = 9 \text{ см} ]

Таким образом, длина хорды ( CK ) равна 9 см.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о перпендикулярности хорды и радиуса, которая гласит: "Хорда, проведенная через середину радиуса, перпендикулярна радиусу и делит его пополам".

Так как хорда АК равна 9 см, то отсюда следует, что отрезок CK тоже равен 9 см (так как диаметр делит хорду пополам). Также известно, что радиус окружности равен 7,5 см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику СКА: CK^2 = AC^2 - AK^2 CK^2 = (2 * 7,5)^2 - 9^2 CK^2 = 15^2 - 81 CK^2 = 225 - 81 CK^2 = 144 CK = √144 CK = 12

Таким образом, длина хорды СК равна 12 см.