В геометрической прогрессии произведение третьего и пятого её членов равно 7 1/9. Найдите знаменатель...

Для нахождения знаменателя прогрессии и суммы первых семи её членов воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда третий член будет равен $aq^2$, а пятый член $aq^4$. Из условия известно, что $aq^2a*q^4 = 7\frac{1}{9}$. Таким образом, получаем уравнение $a^2q^6 = 7\frac{1}{9}$.

Также известно, что $b_3b_7 = 28\frac{4}{9}$. Так как седьмой член равен $aq^6$, то $b_3b_7 = aq^2 aq^6 = a^2*q^8 = 28\frac{4}{9}$.

Решая систему из двух уравнений, мы можем найти значения a и q. Зная эти значения, можем найти сумму первых семи членов прогрессии, используя формулу суммы членов геометрической прогрессии.

Давайте разберём данную задачу шаг за шагом.

1. Обозначения и уравнения: Пусть ( a ) — первый член геометрической прогрессии, а ( q ) — её знаменатель. Тогда ( n )-ый член геометрической прогрессии можно записать как: [ b_n = a \cdot q^{n-1} ]

2. Произведение третьего и пятого членов: Нам известно, что ( b_3 \cdot b_5 = 7 \frac{1}{9} ). Подставим выражения для этих членов: [ b_3 = a \cdot q^2 \quad \text{и} \quad b_5 = a \cdot q^4 ] Тогда: [ b_3 \cdot b_5 = (a \cdot q^2) \cdot (a \cdot q^4) = a^2 \cdot q^6 ] По условию задачи: [ a^2 \cdot q^6 = 7 \frac{1}{9} = \frac{64}{9} ] Значит: [ a^2 \cdot q^6 = \frac{64}{9} ]

3. Произведение третьего и седьмого членов: Также нам известно, что ( b_3 \cdot b_7 = 28 \frac{4}{9} ). Подставим выражения для этих членов: [ b_7 = a \cdot q^6 ] Тогда: [ b_3 \cdot b_7 = (a \cdot q^2) \cdot (a \cdot q^6) = a^2 \cdot q^8 ] По условию задачи: [ a^2 \cdot q^8 = 28 \frac{4}{9} = \frac{256}{9} ]

4. Нахождение знаменателя: У нас есть две системы уравнений: [ a^2 \cdot q^6 = \frac{64}{9} ] [ a^2 \cdot q^8 = \frac{256}{9} ]

   Разделим второе уравнение на первое: [ \frac{a^2 \cdot q^8}{a^2 \cdot q^6} = \frac{\frac{256}{9}}{\frac{64}{9}} ] Упростим: [ q^2 = \frac{256}{64} = 4 ] Значит: [ q = 2 \quad \text{или} \quad q = -2 ]

5. Нахождение первого члена: Подставим ( q = 2 ) (рассмотрим положительное значение для простоты) в одно из уравнений: [ a^2 \cdot 2^6 = \frac{64}{9} ] [ a^2 \cdot 64 = \frac{64}{9} ] [ a^2 = \frac{64}{9 \cdot 64} = \frac{1}{9} ] [ a = \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad a = -\frac{1}{3} ]

6. Сумма первых семи членов: Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии с первым членом ( a ) и знаменателем ( q ) вычисляется по формуле: [ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} ] В нашем случае ( a = \frac{1}{3} ), ( q = 2 ), ( n = 7 ): [ S_7 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^7 - 1}{2 - 1} ] [ S_7 = \frac{1}{3} \cdot (128 - 1) ] [ S_7 = \frac{1}{3} \cdot 127 ] [ S_7 = \frac{127}{3} ]

Итак, знаменатель геометрической прогрессии ( q = 2 ) (или ( q = -2 )), а сумма первых семи её членов ( S_7 = \frac{127}{3} ).