В геометрической прогрессии (An) с положительными членами А3=7 А5=28.Найдите сумму первых шести членов...

Для решения задачи сначала найдем общий знаменатель прогрессии ( q ), а затем сумму первых шести членов.

1. Найдем знаменатель прогрессии ( q ):

   Дано, что ( A_3 = 7 ) и ( A_5 = 28 ) в геометрической прогрессии с положительными членами. По определению геометрической прогрессии ( A_n = A_1 \cdot q^{n-1} ), где ( A_1 ) — первый член прогрессии, ( q ) — знаменатель прогрессии.

   Из уравнений: [ A_3 = A_1 \cdot q^2 = 7 ] [ A_5 = A_1 \cdot q^4 = 28 ]

   Поделим уравнение ( A_5 ) на ( A_3 ): [ \frac{A_1 \cdot q^4}{A_1 \cdot q^2} = \frac{28}{7} ] [ q^2 = 4 ] [ q = 2 ] (исключаем отрицательное значение, так как члены прогрессии положительные)

2. Найдем первый член прогрессии ( A_1 ):

   Подставляем ( q = 2 ) обратно в уравнение для ( A_3 ): [ A_3 = A_1 \cdot 2^2 = 7 ] [ A_1 \cdot 4 = 7 ] [ A_1 = \frac{7}{4} ]

3. Найдем сумму первых шести членов прогрессии:

   Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии определяется по формуле: [ S_n = A_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

   Подставляя ( n = 6 ), ( A_1 = \frac{7}{4} ), и ( q = 2 ): [ S_6 = \frac{7}{4} \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} ] [ S_6 = \frac{7}{4} \cdot (64 - 1) ] [ S_6 = \frac{7}{4} \cdot 63 ] [ S_6 = \frac{441}{4} ] [ S_6 = 110.25 ]

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна 110.25.

Для начала определим общий член геометрической прогрессии (An). Обозначим первый член прогрессии A1 = a и знаменатель прогрессии q.

Так как A3 = 7, то A3 = a q^2 = 7 Так как A5 = 28, то A5 = a q^4 = 28

Разделим уравнения A5 / A3: (a q^4) / (a q^2) = 28 / 7 q^2 = 4 q = 2

Теперь найдем первый член прогрессии a. Подставим значение q = 2 в уравнение A3 = 7: a 2^2 = 7 a 4 = 7 a = 7 / 4 = 1.75

Теперь найдем сумму первых шести членов прогрессии. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Подставим полученные значения a = 1.75, q = 2 и n = 6: S_6 = 1.75 (1 - 2^6) / (1 - 2) S_6 = 1.75 (1 - 64) / (1 - 2) S_6 = 1.75 (-63) / (-1) S_6 = 1.75 63 S_6 = 110.25

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 110.25.