В геометрической прогрессии (A n ) c положительными членами а2=8 , а4=72. найдите сумму первых пяти...

Для начала найдем знаменатель прогрессии q, разделив четвертый член на второй:

q = a4 / a2 = 72 / 8 = 9

Теперь найдем первый член прогрессии a1, разделив второй член на квадрат знаменателя:

a1 = a2 / q^2 = 8 / 9^2 = 8 / 81

Сумма первых пяти членов прогрессии Sn вычисляется по формуле:

Sn = a1 * (1 - q^5) / (1 - q)

Подставляем значения и находим сумму:

Sn = (8 / 81) (1 - 9^5) / (1 - 9) Sn = (8 / 81) (-59048) / (-8) Sn = 59048 / 81 Sn ≈ 728.69

Следовательно, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна приблизительно 728.69.

Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии члены связаны через общий множитель ( q ), так что каждый следующий член получается умножением предыдущего на ( q ).

Дано:

• ( a_2 = 8 )
• ( a_4 = 72 )

Формула n-го члена геометрической прогрессии: [ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]

Используя данную информацию, можем выразить ( a_4 ) через ( a_2 ): [ a_4 = a_2 \cdot q^2 ] [ 72 = 8 \cdot q^2 ] [ q^2 = \frac{72}{8} = 9 ] [ q = 3 ] или ( q = -3 ). Однако, поскольку члены прогрессии положительны, ( q = 3 ).

Теперь найдем ( a_1 ): [ a_2 = a_1 \cdot q ] [ 8 = a_1 \cdot 3 ] [ a_1 = \frac{8}{3} ]

Теперь, зная ( a_1 ) и ( q ), можно найти первые пять членов прогрессии: [ a_1 = \frac{8}{3} ] [ a_2 = 8 ] [ a_3 = a_2 \cdot q = 8 \cdot 3 = 24 ] [ a_4 = 72 ] [ a_5 = a_4 \cdot q = 72 \cdot 3 = 216 ]

Сумма первых пяти членов прогрессии: [ S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 ] [ S_5 = \frac{8}{3} + 8 + 24 + 72 + 216 ] [ S_5 = \frac{8}{3} + 320 ] [ S_5 = \frac{8 + 960}{3} = \frac{968}{3} \approx 322.67 ]

Таким образом, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии приблизительно равна 322.67.

Сначала найдем первый член и знаменатель прогрессии: a2/a1 = a4/a3 8/a1 = 72/8 a1 = 1 a3 = 8 a2 / a1 = 8 8 / 1 = 64 q = a3 / a2 = 64 / 8 = 8

Теперь найдем сумму первых пяти членов прогрессии: S5 = a1 (1 - q^5) / (1 - q) S5 = 1 (1 - 8^5) / (1 - 8) S5 = 1 * (1 - 32768) / (-7) S5 = -32767 / -7 S5 = 4679

Сумма первых пяти членов этой прогрессии равна 4679.