В ящике 10 белых 10 черных и 10 красных шаров . эксперимент состоит в том что наудачу вытаскивают три...

Чтобы решить задачу, начнем с понимания формулировки. Давайте разберем её поэтапно.

Дано:

1. В ящике находятся 30 шаров:
   • 10 белых,
   • 10 черных,
   • 10 красных.
2. Из ящика случайным образом вытягиваются три шара. Задача заключается в определении того, что все три шара окажутся разных цветов.
3. Проведены эксперименты: 100, 200 и 300 раз.
4. Число благоприятных исходов (все три шара разного цвета) составило:
   • 25 из 100 экспериментов,
   • 49 из 200 экспериментов,
   • 74 из 300 экспериментов.

Нужно найти частоты появления благоприятных исходов в зависимости от числа экспериментов.

Решение:

1. Определение частоты:

Частота благоприятных исходов ( f ) — это отношение количества благоприятных исходов ( n_{\text{бл}} ) к общему числу экспериментов ( N ). Она вычисляется по формуле:

[ f = \frac{n_{\text{бл}}}{N} ]

2. Вычисления частот:

Для каждого случая подставим значения ( n_{\text{бл}} ) (число благоприятных исходов) и ( N ) (общее число экспериментов):

• Для ( N = 100 ) и ( n_{\text{бл}} = 25 ): [ f = \frac{25}{100} = 0.25 ]

• Для ( N = 200 ) и ( n_{\text{бл}} = 49 ): [ f = \frac{49}{200} = 0.245 ]

• Для ( N = 300 ) и ( n_{\text{бл}} = 74 ): [ f = \frac{74}{300} \approx 0.247 ]

3. Вывод:

Частоты появления благоприятных исходов составляют:

• при 100 экспериментах: ( f = 0.25 ),
• при 200 экспериментах: ( f = 0.245 ),
• при 300 экспериментах: ( f \approx 0.247 ).

Теоретическое обоснование:

Чтобы понять, насколько частота совпадает с теоретической вероятностью, найдем вероятность того, что три шара окажутся разного цвета.

1. Общее количество способов выбрать любые 3 шара из 30: [ C_{30}^3 = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4060 ]

2. Число благоприятных исходов (все три шара разного цвета):

   • Выбираем по одному шару каждого цвета: [ C{10}^1 \cdot C{10}^1 \cdot C_{10}^1 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 ]
   • Поскольку порядок не важен, делим на число перестановок трёх цветов (( 3! = 6 )): [ \frac{1000}{6} \approx 166.67 ]

3. Вероятность того, что три шара будут разного цвета: [ P = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{166.67}{4060} \approx 0.041 ]

Таким образом, экспериментальные частоты (( f \approx 0.25 )) отличаются от теоретической вероятности из-за ограниченного числа опытов и случайных факторов.

Итог:

Частоты появления благоприятных исходов по мере увеличения числа экспериментов:

• ( f = 0.25 ) для 100 экспериментов,
• ( f = 0.245 ) для 200 экспериментов,
• ( f \approx 0.247 ) для 300 экспериментов.

Эти частоты постепенно приближаются к теоретической вероятности. При увеличении числа экспериментов результаты станут более точными.

Для решения задачи необходимо определить частоту появления благоприятных исходов для каждого из указанных чисел экспериментов. Частота (или относительная частота) вычисляется по формуле:

[ f = \frac{n{\text{благоприятных}}}{n{\text{всего}}} ]

где:

• ( f ) — частота благоприятных исходов,
• ( n_{\text{благоприятных}} ) — число благоприятных исходов,
• ( n_{\text{всего}} ) — общее число экспериментов.

Теперь подставим значения для каждого случая:

1. Для 100 экспериментов:

   • ( n_{\text{благоприятных}} = 25 )
   • ( n_{\text{всего}} = 100 )

   [ f = \frac{25}{100} = 0.25 ]

   Частота благоприятных исходов составляет 0.25 или 25%.

2. Для 200 экспериментов:

   • ( n_{\text{благоприятных}} = 49 )
   • ( n_{\text{всего}} = 200 )

   [ f = \frac{49}{200} = 0.245 ]

   Частота благоприятных исходов составляет 0.245 или 24.5%.

3. Для 300 экспериментов:

   • ( n_{\text{благоприятных}} = 74 )
   • ( n_{\text{всего}} = 300 )

   [ f = \frac{74}{300} \approx 0.2467 ]

   Частота благоприятных исходов составляет приблизительно 0.2467 или 24.67%.

Теперь можем представить результаты в виде таблицы:

Таким образом, частота появления благоприятных исходов в зависимости от числа экспериментов показывает, что она колеблется около 24-25%. Это может свидетельствовать о стабильности вероятности в данном эксперименте.