Упростите выражение: соs^2(2п-t)+cos^2(3п/2+t)

Для упрощения выражения (\cos^2(2\pi - t) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)), воспользуемся тригонометрическими свойствами косинуса.

1. Свойство четности косинуса: Косинус является четной функцией, то есть (\cos(-x) = \cos(x)). Это позволяет переписать (\cos(2\pi - t)) следующим образом: [ \cos(2\pi - t) = \cos(t) ] Таким образом, (\cos^2(2\pi - t) = \cos^2(t)).

2. Преобразование (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)): Используя тригонометрические идентичности, можем выразить (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)) через синус: [ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin(t) ] Это связано с тем, что (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin(x)). Таким образом, (\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin^2(t)).

Теперь соберем всё вместе:

[ \cos^2(2\pi - t) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \cos^2(t) + \sin^2(t) ]

1. Основное тригонометрическое тождество: Одно из основных тригонометрических тождеств гласит, что для любого угла (t): [ \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 ]

Следовательно, окончательно упрощенное выражение равно 1.

Таким образом, (\cos^2(2\pi - t) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = 1).

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Сначала преобразуем выражения в квадраты косинусов по формуле косинуса суммы: cos^2(a) = 1/2 * (1 + cos(2a))

Таким образом, имеем:

cos^2(2π - t) = 1/2 (1 + cos(2(2π - t))) = 1/2 * (1 + cos(4π - 2t))

cos^2(3π/2 + t) = 1/2 (1 + cos(2(3π/2 + t))) = 1/2 * (1 + cos(3π + 2t))

Далее преобразуем аргументы косинусов: cos(4π - 2t) = cos(2π - 2t) = cos(-2t) = cos(2t) cos(3π + 2t) = cos(π + 2t) = -cos(2t)

Теперь подставляем обратно в выражение:

1/2 (1 + cos(2t)) + 1/2 (1 - cos(2t)) = 1/2 + 1/2 = 1

Таким образом, упрощенное выражение равно 1.