Упростите выражение: ( а+7/а-7- а-7/а+7) : 14а/49-а^

Давайте упростим выражение шаг за шагом.

Дано выражение:

[ \left( \frac{a + 7}{a - 7} - \frac{a - 7}{a + 7} \right) \div \frac{14a}{49 - a^2} ]

1. Упростим первую часть выражения: [ \frac{a + 7}{a - 7} - \frac{a - 7}{a + 7} ]

Для этого приведем к общему знаменателю: [ \frac{(a + 7)(a + 7) - (a - 7)(a - 7)}{(a - 7)(a + 7)} ]

Раскроем скобки в числителе: [ \frac{a^2 + 14a + 49 - (a^2 - 14a + 49)}{(a - 7)(a + 7)} ]

Упростим числитель: [ a^2 + 14a + 49 - a^2 + 14a - 49 = 28a ]

Таким образом, выражение становится: [ \frac{28a}{(a - 7)(a + 7)} ]

1. Упростим вторую часть выражения: [ \frac{14a}{49 - a^2} ]

Заметим, что ( 49 - a^2 = (7 - a)(7 + a) = -(a - 7)(a + 7) ). Таким образом: [ \frac{14a}{-(a - 7)(a + 7)} = -\frac{14a}{(a - 7)(a + 7)} ]

Теперь выразим исходное выражение с учетом упрощений: [ \left( \frac{28a}{(a - 7)(a + 7)} \right) \div \left( -\frac{14a}{(a - 7)(a + 7)} \right) ]

Деление дробей заменим умножением на обратную дробь: [ \frac{28a}{(a - 7)(a + 7)} \times \left( - \frac{(a - 7)(a + 7)}{14a} \right) ]

Сократим общие множители: [ \frac{28a}{(a - 7)(a + 7)} \times - \frac{(a - 7)(a + 7)}{14a} = \frac{28a \times -(a - 7)(a + 7)}{(a - 7)(a + 7) \times 14a} ]

[ = \frac{28a \times -1}{14a} ]

Сократим ( a ) и 14: [ = \frac{28 \times -1}{14} = -2 ]

Таким образом, упрощенное выражение равно: [ -2 ]

Для упрощения данного выражения сначала выполним операции в скобках:

( а+7/а-7 - а-7/а+7) = ( а^2 + 7а - 7а - 49 - а^2 - 7а + 7а ) / (а^2 - 49) = (-49) / (а^2 - 49) = -1.

После этого разделим полученное значение (-1) на дробь 14а/49-а^:

(-1) : (14а/49-а^) = (-1) / (14а/49-а^) = (-1) * (49-а^) / (14а) = (а^ - 49) / (14а).

Таким образом, упрощенное выражение равно (а^ - 49) / (14а).