Упростите выражение (5p^4q^2)^3/(10pq)^2

Чтобы упростить выражение ((5p^4q^2)^3/(10pq)^2), начнем с работы с числителями и знаменателями по отдельности.

1. Упрощение числителя: [ (5p^4q^2)^3 = 5^3 (p^4)^3 (q^2)^3 ] Вычисляем каждую часть: [ 5^3 = 125, \quad (p^4)^3 = p^{4 \cdot 3} = p^{12}, \quad (q^2)^3 = q^{2 \cdot 3} = q^6 ] Таким образом, числитель равен: [ 125p^{12}q^6 ]

2. Упрощение знаменателя: [ (10pq)^2 = 10^2 (p)^2 (q)^2 ] Вычисляем каждую часть: [ 10^2 = 100, \quad (p)^2 = p^2, \quad (q)^2 = q^2 ] Таким образом, знаменатель равен: [ 100p^2q^2 ]

3. Теперь подставим числитель и знаменатель обратно в основное выражение: [ \frac{125p^{12}q^6}{100p^2q^2} ]

4. Сократим дробь: Сначала упростим коэффициенты: [ \frac{125}{100} = \frac{125 \div 25}{100 \div 25} = \frac{5}{4} ]

   Далее упростим степени переменных: [ \frac{p^{12}}{p^2} = p^{12-2} = p^{10}, \quad \frac{q^6}{q^2} = q^{6-2} = q^4 ]

   Таким образом, упрощенное выражение будет: [ \frac{5p^{10}q^4}{4} ]

5. Запишем окончательный ответ: [ \frac{5p^{10}q^4}{4} ]

Это и есть окончательный результат упрощения данного выражения.

Давайте упростим выражение ((5p^4q^2)^3 / (10pq)^2). Разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Раскрываем степени в числителе и знаменателе

Числитель:

((5p^4q^2)^3) означает, что мы возводим каждое из множителей внутри скобок в степень (3). По свойству степеней ((ab)^n = a^n \cdot b^n), раскроем выражение: [ (5p^4q^2)^3 = 5^3 \cdot (p^4)^3 \cdot (q^2)^3. ] Теперь вычислим каждую часть:

• (5^3 = 125),
• ((p^4)^3 = p^{4 \cdot 3} = p^{12}),
• ((q^2)^3 = q^{2 \cdot 3} = q^6).

Таким образом, числитель становится: [ 5^3 \cdot (p^4)^3 \cdot (q^2)^3 = 125p^{12}q^6. ]

Знаменатель:

Теперь перейдем к знаменателю ((10pq)^2). Аналогично, каждую часть внутри скобок возводим в квадрат: [ (10pq)^2 = 10^2 \cdot (p)^2 \cdot (q)^2. ] Вычислим:

• (10^2 = 100),
• (p^2 = p^2),
• (q^2 = q^2).

Знаменатель становится: [ (10pq)^2 = 100p^2q^2. ]

Шаг 2: Подставляем выражения для числителя и знаменателя

Теперь выражение выглядит так: [ \frac{125p^{12}q^6}{100p^2q^2}. ]

Шаг 3: Сокращаем коэффициенты

Сократим числовые коэффициенты (125) и (100): [ \frac{125}{100} = \frac{5}{4}. ]

Теперь выражение становится: [ \frac{5p^{12}q^6}{4p^2q^2}. ]

Шаг 4: Сокращаем степени переменных

Используем правило деления степеней: (x^a / x^b = x^{a-b}), где (a > b).

Для переменной (p):

[ \frac{p^{12}}{p^2} = p^{12-2} = p^{10}. ]

Для переменной (q):

[ \frac{q^6}{q^2} = q^{6-2} = q^4. ]

Шаг 5: Записываем окончательный результат

После всех упрощений выражение принимает вид: [ \frac{5p^{10}q^4}{4}. ]

Ответ:

Упрощенное выражение: [ \frac{5p^{10}q^4}{4}. ]