Упростите выражение: 5а а-6 135 ---- + ----- * ------- = а+3 3а+9 6а-а²

Для упрощения данного выражения сначала найдем общий знаменатель. Умножим каждое слагаемое на необходимые множители, чтобы получить общий знаменатель (а + 3)(3а + 9)(6а - а²).

1) 5а/(а + 3) = 5а(3а + 9)(6а - а²) / (а + 3)(3а + 9)(6а - а²) = 5(3а + 9)

2) -6 135/(3а + 9) = -6 135(а + 3)(6а - а²) / (а + 3)(3а + 9)(6а - а²) = -6 135(а + 3)

Теперь сложим оба полученных выражения:

(5(3а + 9) - 6 135(а + 3)) / (а + 3)(3а + 9)(6а - а²) = (15а + 45 - 810а - 2430) / (а + 3)(3а + 9)(6а - а²)

Далее объединим подобные члены:

(-795а -2385) / (а + 3)(3а + 9)(6а - а²)

Таким образом, упрощенное выражение равно (-795а -2385) / (а + 3)(3а + 9)(6а - а²)

(5a/(a+3)) + (6/(3a+9)) (135/(6a-a^2)) = (5a/(a+3)) + (2/(a+3)) (15/(a-2)) = (5a + 30) / (a+3) (15/(a-2)) = (5a + 30) 15 / (a+3)(a-2) = (75a + 450) / (a^2 + a - 6)

Упростим выражение:

[ \frac{5a}{a+3} + \frac{a-6}{3a+9} \cdot \frac{135}{6a-a^2} ]

Для начала рассмотрим каждый компонент высказывания.

Разложение знаменателя второго дробного выражения

Знаменатель во втором дробном выражении ( \frac{a-6}{3a+9} ) можно упростить:

[ 3a + 9 = 3(a + 3) ]

Таким образом, дробь становится:

[ \frac{a-6}{3(a+3)} ]

Разложение знаменателя третьего дробного выражения

Знаменатель в третьем дробном выражении ( \frac{135}{6a-a^2} ) также можно упростить. Вынесем общий множитель (a):

[ 6a - a^2 = a(6 - a) ]

Таким образом, дробь становится:

[ \frac{135}{a(6 - a)} ]

Теперь перепишем исходное выражение с учётом этих упрощений:

[ \frac{5a}{a+3} + \frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6 - a)} ]

Упрощение произведения дробей

Объединим вторую и третью дроби в одно выражение:

[ \frac{(a-6) \cdot 135}{3(a+3) \cdot a(6 - a)} ]

Заметим, что числитель и знаменатель можно упростить. Перепишем:

[ \frac{135(a-6)}{3a(a+3)(6 - a)} ]

Поскольку (6 - a = -(a - 6)), упростим выражение:

[ \frac{135(a-6)}{3a(a+3)(-1)(a-6)} ]

(a-6) сокращается:

[ \frac{135}{-3a(a+3)} ]

Или:

[ -\frac{135}{3a(a+3)} ]

Упростим:

[ -\frac{45}{a(a+3)} ]

Теперь перепишем исходное выражение:

[ \frac{5a}{a+3} - \frac{45}{a(a+3)} ]

Приведение к общему знаменателю

Приведем обе дроби к общему знаменателю, который равен (a(a+3)):

[ \frac{5a^2}{a(a+3)} - \frac{45}{a(a+3)} ]

Теперь можно их объединить:

[ \frac{5a^2 - 45}{a(a+3)} ]

Вынесение общего множителя в числителе

Вынесем общий множитель в числителе:

[ \frac{5(a^2 - 9)}{a(a+3)} ]

(a^2 - 9) — это разность квадратов, разложим её:

[ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) ]

Тогда выражение становится:

[ \frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)} ]

Сократим (a + 3):

[ \frac{5(a-3)}{a} ]

Итак, упрощённое выражение:

[ \frac{5(a-3)}{a} ]

Или:

[ 5 \cdot \left(1 - \frac{3}{a}\right) ]

Ответ:

[ \frac{5(a-3)}{a} ]