Упростите выражение (2/х^2-4 + 1/2х-х^2):1/x^2+4x+4

Для упрощения данного выражения (\left(\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2}\right) \div \frac{1}{x^2 + 4x + 4}), следует выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Упростите знаменатели

1. (x^2 - 4): Это разность квадратов, которая раскладывается как ((x - 2)(x + 2)).

2. (2x - x^2): Это можно переписать как (-x^2 + 2x), затем вынести (-1) и (x), чтобы получить (-x(x - 2)).

3. (x^2 + 4x + 4): Это полный квадрат, который можно разложить как ((x + 2)^2).

Шаг 2: Перепишите выражение

Теперь выражение можно переписать как: [ \left(\frac{2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{-x(x - 2)}\right) \div \frac{1}{(x + 2)^2} ]

Шаг 3: Найдите общий знаменатель в числителе

Для сложения дробей в числителе, найдём общий знаменатель, который будет равен (-(x - 2)(x + 2)x).

Перепишем дроби с общим знаменателем: [ \frac{2x}{-(x - 2)(x + 2)x} - \frac{(x + 2)}{-(x - 2)(x + 2)x} ]

Теперь объединим их: [ \frac{2x - (x + 2)}{-(x - 2)(x + 2)x} = \frac{2x - x - 2}{-(x - 2)(x + 2)x} = \frac{x - 2}{-(x - 2)(x + 2)x} ]

Шаг 4: Упростите выражение

Теперь выражение становится: [ \frac{x - 2}{-(x - 2)(x + 2)x} \div \frac{1}{(x + 2)^2} ]

Умножение на обратную дробь: [ \frac{x - 2}{-(x - 2)(x + 2)x} \times \frac{(x + 2)^2}{1} = \frac{(x - 2)(x + 2)^2}{-(x - 2)(x + 2)x} ]

Шаг 5: Сократите

Сократим ((x - 2)) и ((x + 2)) в числителе и знаменателе: [ \frac{x + 2}{-x} = -\frac{x + 2}{x} ]

Итог

Упрощённое выражение: [ -\frac{x + 2}{x} ]

Таким образом, выражение (\left(\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2}\right) \div \frac{1}{x^2 + 4x + 4}) упрощается до (-\frac{x + 2}{x}).

Для упрощения данного выражения сначала нужно привести все дроби к общему знаменателю. Для этого мы выделим каждое слагаемое в отдельные дроби.

(2/(x^2 - 4) + 1/(2x - x^2)) : (1/(x^2 + 4x + 4))

1) 2/(x^2 - 4) = 2/((x + 2)(x - 2)) = A/(x + 2) + B/(x - 2) Решаем систему уравнений: 2 = A(x - 2) + B(x + 2) 2 = Ax - 2A + Bx + 2B 2 = (A + B)x - 2A + 2B

Сравниваем коэффициенты при x: A + B = 0 -2A + 2B = 2

Решаем систему уравнений: A = -B -2A + 2B = 2 -2(-B) + 2B = 2 2B + 2B = 2 4B = 2 B = 1/2 A = -1/2

Итак, 2/(x^2 - 4) = -1/(2(x + 2)) + 1/(2(x - 2))

2) 1/(2x - x^2) = 1/(2x - x^2) = 1/(x(2 - x)) = C/x + D/(2 - x) Решаем систему уравнений: 1 = C(2 - x) + Dx 1 = 2C - Cx + Dx 1 = (D - C)x + 2C

Сравниваем коэффициенты при x: D - C = 0 2C = 1 C = 1/2 D = 1/2

Итак, 1/(2x - x^2) = 1/(2x) + 1/(2 - x)

Теперь подставляем найденные дроби в исходное выражение: (-1/(2(x + 2)) + 1/(2(x - 2)) + 1/(2x) + 1/(2 - x)) : (1/(x^2 + 4x + 4))

1/(x + 2) - 1/(x - 2) + 1/(2x) + 1/(2 - x) : (1/(x + 2)(x + 2))

Теперь ищем общий знаменатель: (x + 2)(x - 2)(2x)(2 - x) = 2(x + 2)(x - 2)(x)(2 - x)

И подставляем в выражение: (1(x - 2) - 1(x + 2) + 2(x)(2 - x) + 2(x + 2)(x)) : 2(x + 2)(x - 2)(x)(2 - x)

(x - 2 - x - 2 + 2(x^2 - x) + 2(x^2 + 2x)) : 2(x + 2)(x - 2)(x)(2 - x)

(-4 + 2x^2 - 2x + 2x^2 + 4x) : 2(x + 2)(x - 2)(x)(2 - x)

(4x^2 + 2x - 4) : 2(x + 2)(x - 2)(x)(2 - x)

Таким образом, упрощенное выражение равно (4x^2 + 2x - 4) : 2(x + 2)(x - 2)(x)(2 - x).