Упростите выражение : 1/x^2-4 - 1/x-2 - 1/x+2

Для упрощения данного выражения ( \frac{1}{x^2-4} - \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} ), начнем с того, что разложим квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби на множители. Заметим, что ( x^2 - 4 ) является разностью квадратов, которую можно разложить как:

[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) ]

Теперь займемся приведением всех дробей к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех трех дробей будет ( (x - 2)(x + 2) ).

Преобразуем каждую дробь:

1. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель: [ \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} ]

2. Вторая дробь: [ \frac{1}{x - 2} ] Приводим к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на ( (x + 2) ): [ \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)} ]

3. Третья дробь: [ \frac{1}{x + 2} ] Умножим числитель и знаменатель на ( (x - 2) ): [ \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} ]

Теперь у нас все дроби имеют общий знаменатель, и мы можем их объединить:

[ \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} ]

Складываем числители:

[ \frac{1 - (x + 2) - (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} ] [ \frac{1 - x - 2 - x + 2}{(x - 2)(x + 2)} ] [ \frac{1 - 2x}{(x - 2)(x + 2)} ]

Итак, упрощенное выражение:

[ \frac{1 - 2x}{(x - 2)(x + 2)} ]

Это и будет окончательный ответ.

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю и затем сложить или вычитать числители.

Для начала найдем общий знаменатель. Заметим, что x^2-4 = (x-2)(x+2), поэтому общим знаменателем для всех трех дробей будет (x-2)(x+2).

Теперь приведем каждую из дробей к общему знаменателю:

1/(x^2-4) = 1/((x-2)(x+2)) = A/(x-2) + B/(x+2), где A и B - некоторые числа.

Далее найдем числа A и B, умножив обе части уравнения на (x-2)(x+2) и приведя к общему знаменателю:

1 = A(x+2) + B(x-2)

Подставим x=2 и x=-2, чтобы найти значения A и B:

1 = A(2+2) + B(2-2) 1 = 4A A = 1/4

1 = B(-2-2) 1 = -4B B = -1/4

Теперь выразим каждую из дробей через A и B:

1/(x^2-4) = 1/((x-2)(x+2)) = 1/4(x-2) - 1/4(x+2)

Теперь подставим полученные выражения в исходное выражение и упростим:

1/x^2-4 - 1/x-2 - 1/x+2 = 1/4(x-2) - 1/4(x+2) - 1/(x-2) - 1/(x+2)

= (x+2 - x-2 - 4)/(4(x-2)(x+2))

= -4/(4(x-2)(x+2))

= -1/(x-2)(x+2)

Таким образом, упрощенное выражение равно -1/(x-2)(x+2).