Упростите выражение : 1/x^2-4 - 1/x-2 - 1/x+2

Для упрощения данного выражения $\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$, начнем с того, что разложим квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби на множители. Заметим, что $x^2-4$ является разностью квадратов, которую можно разложить как:

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Теперь займемся приведением всех дробей к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех трех дробей будет $(x-2$$x+2$ ).

Преобразуем каждую дробь:

1. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель: $\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}$

2. Вторая дробь: $\frac{1}{x-2}$ Приводим к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на $(x+2$ ): $\frac{1}{x-2}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$

3. Третья дробь: $\frac{1}{x+2}$ Умножим числитель и знаменатель на $(x-2$ ): $\frac{1}{x+2}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$

Теперь у нас все дроби имеют общий знаменатель, и мы можем их объединить:

$\frac{1}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$

Складываем числители:

$\frac{1-(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)}$ $\frac{1-x-2-x+2}{(x-2)(x+2)}$ $\frac{1-2x}{(x-2)(x+2)}$

Итак, упрощенное выражение:

$\frac{1-2x}{(x-2)(x+2)}$

Это и будет окончательный ответ.

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю и затем сложить или вычитать числители.

Для начала найдем общий знаменатель. Заметим, что x^2-4 = $x-2$$x+2$, поэтому общим знаменателем для всех трех дробей будет $x-2$$x+2$.

Теперь приведем каждую из дробей к общему знаменателю:

1/$x^2-4$ = 1/$(x-2$$x+2$) = A/$x-2$ + B/$x+2$, где A и B - некоторые числа.

Далее найдем числа A и B, умножив обе части уравнения на $x-2$$x+2$ и приведя к общему знаменателю:

1 = A$x+2$ + B$x-2$

Подставим x=2 и x=-2, чтобы найти значения A и B:

1 = A$2+2$ + B$2-2$ 1 = 4A A = 1/4

1 = B$-2-2$ 1 = -4B B = -1/4

Теперь выразим каждую из дробей через A и B:

1/$x^2-4$ = 1/$(x-2$$x+2$) = 1/4$x-2$ - 1/4$x+2$

Теперь подставим полученные выражения в исходное выражение и упростим:

1/x^2-4 - 1/x-2 - 1/x+2 = 1/4$x-2$ - 1/4$x+2$ - 1/$x-2$ - 1/$x+2$

= $x+2-x-2-4$/$4(x-2$$x+2$)

= -4/$4(x-2$$x+2$)

= -1/$x-2$$x+2$

Таким образом, упрощенное выражение равно -1/$x-2$$x+2$.