Упростите выражение: 1/x - x+y/xy

Для упрощения данного выражения сначала приведем оба слагаемых к общему знаменателю. У нас есть два слагаемых: 1/x и (x+y)/xy. Приведем их к общему знаменателю, который равен xy:

1/x = y/xy (x+y)/xy = (x+y)/xy

Теперь объединим оба слагаемых:

(y + x + y) / xy = (2y + x) / xy

Таким образом, упрощенным видом выражения 1/x - x + y/xy является (2y + x) / xy.

Для упрощения выражения ( \frac{1}{x} - x + \frac{y}{xy} ), следуем нескольким шагам:

1. Приведем к общему знаменателю: Мы видим, что у нас есть три дроби с разными знаменателями. Для удобства, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей (\frac{1}{x}), (x) (можно представить как (\frac{x}{1})), и (\frac{y}{xy}) будет (xy).

2. Перепишем каждую дробь с общим знаменателем (xy):

   • Для (\frac{1}{x}): [ \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{y}{xy} ]

   • Для (x) (или (\frac{x}{1})): [ x = \frac{x \cdot xy}{1 \cdot xy} = \frac{x^2y}{xy} ]

   • Для (\frac{y}{xy}): [ \frac{y}{xy} = \frac{y}{xy} \quad \text{(уже имеет общий знаменатель)} ]

3. Подставим преобразованные дроби: Теперь выражение выглядит так: [ \frac{y}{xy} - \frac{x^2 y}{xy} + \frac{y}{xy} ]

4. Объединим все дроби под один знаменатель: [ \frac{y - x^2 y + y}{xy} ]

5. Сложим и вычтем числители: Объединим (y + y) и вычтем (x^2 y): [ \frac{y + y - x^2 y}{xy} = \frac{2y - x^2 y}{xy} ]

6. Вынесем общий множитель в числителе: В числителе у нас есть общий множитель (y): [ \frac{y(2 - x^2)}{xy} ]

7. Сократим дробь: Так как (y) не равен нулю, можем сократить на (y) в числителе и знаменателе: [ \frac{y(2 - x^2)}{xy} = \frac{2 - x^2}{x} ]

Таким образом, после всех упрощений выражение принимает вид: [ \frac{2 - x^2}{x} ]

Ответ: (\frac{2 - x^2}{x}).