Упростите выражение: (1/m-n - 1/m+n) : 2/3m-3n

Для упрощения выражения ((\frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n}) : \frac{2}{3m-3n}) начнем с упрощения разности дробей в скобках.

1. Приведем дроби (\frac{1}{m-n}) и (\frac{1}{m+n}) к общему знаменателю: [ \frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n} = \frac{m+n}{(m-n)(m+n)} - \frac{m-n}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n - (m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{2n}{m^2 - n^2}. ]

2. Теперь упростим деление на (\frac{2}{3m-3n}). Заметим, что знаменатель можно выразить как (3(m-n)), тогда: [ \left(\frac{2n}{m^2-n^2}\right) : \frac{2}{3(m-n)} = \frac{2n}{m^2-n^2} \cdot \frac{3(m-n)}{2}. ]

3. Упростим полученное выражение, сокращая двойки и учитывая, что (m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)): [ \frac{2n}{(m-n)(m+n)} \cdot \frac{3(m-n)}{2} = \frac{2n \cdot 3(m-n)}{2 \cdot (m-n)(m+n)} = \frac{3n}{m+n}. ]

Итак, исходное выражение упрощается до (\frac{3n}{m+n}).

Для упрощения данного выражения сначала найдем общий знаменатель для дробей в числителе и знаменателе. Для этого умножим обе дроби на 3(m-n)(m+n) и упростим числитель:

(1/m-n - 1/m+n) * 3(m-n)(m+n) = 3(m+n) - 3(m-n) = 3m + 3n - 3m + 3n = 6n

Теперь у нас в числителе получилось 6n. Теперь поделим это число на дробь 2/3m-3n:

6n : (2/3m-3n) = 6n * (3m-3n)/2 = 18mn - 18n²

Итак, упрощенным видом данного выражения будет 18mn - 18n².