Упростите выражения (x-y/2x)^2*(4x/x-y+4x/y)

Для упрощения данного выражения, начнем с раскрытия скобок в квадрате (x-y/2x)^2:

(x-y/2x)^2 = (x-y/2x)*(x-y/2x) = x^2 - xy/2 - xy/2 + y^2/4x^2 = x^2 - xy/x + y^2/4x^2 = x^2 - y + y^2/4x

Теперь раскроем скобки во втором выражении (4x/x-y+4x/y):

4x/x - 4x/y + 16x/y = 4 - 4/y + 16/x

Теперь умножим оба полученных выражения:

(x^2 - y + y^2/4x) * (4 - 4/y + 16/x) = 4x^2 - 4y + 4y^2/4x - 4x^2/y + 4y/y - 4y^2/4x + 16x^2/x - 16y/x + 16y^2/4x = 4x^2 - 4y + y^2/x - 4x^2/y + 4 - y + 16x - 16y + 4y^2/x = 4x^2 - 4y + y^2/x - 4x^2/y + 4 - y + 16x - 16y + 4y^2/x

Таким образом, упрощенное выражение равно 4x^2 - 4y + y^2/x - 4x^2/y + 4 - y + 16x - 16y + 4y^2/x.

Для упрощения выражения ((x-\frac{y}{2x})^2 \cdot \left(\frac{4x}{x-y}+\frac{4x}{y}\right)) выполним пошагово следующие преобразования:

1. Преобразуем первую часть выражения: ((x-\frac{y}{2x})^2) можно переписать как (\left(x - \frac{y}{2x}\right)^2) для удобства расчета. Пусть (u = x - \frac{y}{2x}), тогда: [ u^2 = \left(x - \frac{y}{2x}\right)^2 = x^2 - 2x \cdot \frac{y}{2x} + \left(\frac{y}{2x}\right)^2 = x^2 - y + \frac{y^2}{4x^2}. ]

2. Преобразуем вторую часть выражения: Выражение (\frac{4x}{x-y}+\frac{4x}{y}) можно преобразовать, приведя к общему знаменателю: [ \frac{4x}{x-y}+\frac{4x}{y} = \frac{4x \cdot y + 4x \cdot (x-y)}{(x-y)y} = \frac{4xy + 4x^2 - 4xy}{(x-y)y} = \frac{4x^2}{(x-y)y}. ]

3. Умножаем две части: Подставляя полученные выражения, получаем: [ u^2 \cdot \left(\frac{4x}{x-y}+\frac{4x}{y}\right) = \left(x^2 - y + \frac{y^2}{4x^2}\right) \cdot \frac{4x^2}{(x-y)y}. ]

   Упрощаем это выражение: [ \left(x^2 - y + \frac{y^2}{4x^2}\right) \cdot \frac{4x^2}{(x-y)y} = \left(x^2 - y + \frac{y^2}{4x^2}\right) \cdot \frac{4x^2}{(x-y)y} = 4x^2 - \frac{4x^2y}{(x-y)y} + \frac{y^2}{y(x-y)} = 4x^2 - 4x^2 + \frac{y}{x-y} = \frac{y}{x-y}. ]

Итак, упрощенная форма исходного выражения: [ \frac{y}{x-y}. ]