Упростите выражения : а) 2ab+4b/3a умножить на 6a^2/a^2b-4b. б) m^2-n^2/3mn разделить на m^2+2mn+n^2/6m^2n^2....

Давайте упростим каждое из данных выражений:

а) ( \frac{2ab+4b}{3a} \cdot \frac{6a^2}{a^2b-4b} )

Первым делом упростим числитель и знаменатель: [ \frac{2ab+4b}{3a} = \frac{2b(a+2)}{3a} ] [ a^2b - 4b = b(a^2 - 4) = b(a-2)(a+2) ]

Теперь подставим в исходное выражение: [ \frac{2b(a+2)}{3a} \cdot \frac{6a^2}{b(a-2)(a+2)} ]

Сократим ( b ) и ( a+2 ): [ \frac{2}{3a} \cdot \frac{6a^2}{a-2} ]

Произведение дробей: [ \frac{12a}{3(a-2)} = \frac{4a}{a-2} ]

б) ( \frac{m^2-n^2}{3mn} \div \frac{m^2+2mn+n^2}{6m^2n^2} )

Первым делом упростим дроби: [ m^2-n^2 = (m-n)(m+n) ] [ m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2 ]

Теперь подставим: [ \frac{(m-n)(m+n)}{3mn} \div \frac{(m+n)^2}{6m^2n^2} ]

Замена деления на умножение обратной величины: [ \frac{(m-n)(m+n)}{3mn} \cdot \frac{6m^2n^2}{(m+n)^2} ]

Сокращаем ( (m+n) ): [ \frac{m-n}{3mn} \cdot \frac{6m^2n^2}{m+n} ]

Упрощаем: [ \frac{6m(m-n)n}{3(m+n)} = 2m \frac{m-n}{m+n} ]

в) ( \frac{x^2-y^2}{x^2} \div \left(\frac{x+y}{x}\right)^2 )

Упростим: [ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) ] [ \left(\frac{x+y}{x}\right)^2 = \left(1 + \frac{y}{x}\right)^2 = \frac{(x+y)^2}{x^2} ]

Теперь подставим: [ \frac{(x-y)(x+y)}{x^2} \div \frac{(x+y)^2}{x^2} ]

Замена деления на умножение обратной величины: [ \frac{(x-y)(x+y)}{x^2} \cdot \frac{x^2}{(x+y)^2} ]

Сокращаем ( x^2 ) и ( x+y ) (при условии, что ( x+y \neq 0 )): [ \frac{x-y}{x+y} ]

Таким образом, выражения упрощены до: а) ( \frac{4a}{a-2} ) б) ( 2m \frac{m-n}{m+n} ) в) ( \frac{x-y}{x+y} )

а) 2ab + 4b / 3a 6a^2 / a^2b - 4b Упрощаем каждое выражение перед делением: 2ab + 4b = 2ab + 4b 6a^2 = 6a^2 a^2b - 4b = b(a^2 - 4) Теперь подставляем упрощенные выражения: (2ab + 4b) 6a^2 / (a^2b - 4b) = (2ab + 4b) * 6a^2 / b(a^2 - 4) = 2ab(6a^2) + 4b(6a^2) / b(a^2 - 4) = 12a^3b + 24ab^2 / b(a^2 - 4) = 12a^3 + 24ab / a^2 - 4

б) (m^2 - n^2) / (3mn) / (m^2 + 2mn + n^2) / (6m^2n^2) Упрощаем каждое выражение перед делением: m^2 - n^2 = (m - n)(m + n) 3mn = 3mn m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 6m^2n^2 = 6m^2n^2 Теперь подставляем упрощенные выражения: ((m - n)(m + n) / 3mn) / ((m + n)^2 / 6m^2n^2) = ((m - n)(m + n) / 3mn) * (6m^2n^2 / (m + n)^2) = (6m^3n^3 - 6m^2n^3) / 3mn(m + n) = 2m^2n^2 - 2mn^2 / mn(m + n)

в) (x^2 - y^2) / x^2 / ((x + y) / x)^2 Упрощаем каждое выражение перед делением: x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) x^2 = x^2 (x + y) / x = 1 + y/x Теперь подставляем упрощенные выражения: ((x - y)(x + y) / x^2) / (1 + y/x)^2 = ((x - y)(x + y) / x^2) / (1 + 2y/x + y^2/x^2) = (x^2 - y^2) / x^2 / (1 + 2y/x + y^2/x^2) = (x - y)(x + y) / x^2 / (1 + 2y/x + y^2/x^2) = (x - y)(x + y) / x^2 * x^2 / (x + 2y + y^2) = (x - y)(x + y) / (x + 2y + y^2)