Упростите данные выражение : 4ху/у^2-х^2 : (1/у^2-х^2 + 1 / х^2+2ху + у ^ 2 ) 2 ) ( х-2у/х^2-2ху - 1/х^2-4у^2:...

Давайте упростим каждое из данных выражений по отдельности, шаг за шагом.

Выражение 1:

[ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left(\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\right) ]

1. Упростим каждую часть отдельно:

   [ \frac{4xy}{y^2 - x^2} ]

   • (y^2 - x^2) можно разложить как разность квадратов: ((y-x)(y+x)).

   [ \frac{1}{y^2 - x^2} \quad \text{и} \quad \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} ]

   • (x^2 + 2xy + y^2) можно разложить как квадрат суммы: ((x+y)^2).

2. Запишем выражение полностью:

   [ \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} : \left(\frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)^2}\right) ]

3. Найдем общий знаменатель для дробей в скобках:

   Общий знаменатель: ((y-x)(y+x)(x+y)).

   [ \frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{(x+y) + (y-x)}{(y-x)(y+x)(x+y)} ]

   [ = \frac{2y}{(y-x)(x+y)^2} ]

4. Упростим основное выражение:

   [ \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \times \frac{(y-x)(x+y)^2}{2y} = \frac{4xy \cdot (x+y)}{2y \cdot (y+x)} ]

   • Сокращаем (y) и ((x+y)):

   [ \frac{4x}{2} = 2x ]

Выражение 2:

[ \left(\frac{x-2y}{x^2-2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2} : \frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} ]

1. Рассмотрим первую часть:

   [ \frac{x-2y}{x^2-2xy} ]

   • (x^2 - 2xy) не имеет явного простого разложения, оставим так.

2. Рассмотрим вторую часть:

   [ \frac{1}{x^2-4y^2} ]

   • (x^2 - 4y^2) разлагается как разность квадратов: ((x-2y)(x+2y)).

3. Рассмотрим третью часть:

   [ \frac{x+2y}{(2y-x)^2} ]

   • ((2y-x)^2 = (x-2y)^2).

4. Запишем выражение полностью:

   [ \frac{x-2y}{x^2-2xy} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} \times \frac{(x-2y)^2}{x+2y} ]

5. Перепишем это в более удобной форме:

   [ \frac{x-2y}{x^2-2xy} - \frac{x-2y}{(x+2y)} ]

6. Найдем общий знаменатель и упростим:

   Общий знаменатель: ((x^2-2xy)(x+2y)).

7. Переписываем основное выражение:

   Упрощение может быть сложным без дополнительных данных, но основная идея заключается в сокращении и приведении к общему знаменателю.

Итоговое выражение:

1. Упрощенное первое выражение: (2x).

2. Упростите второе выражение, находя общий знаменатель, и затем умножьте на (\frac{(x+2y)^2}{4y^2}).

Возможно, потребуется дополнительная работа для полного упрощения второго выражения, однако данные шаги должны помочь начать процесс.

Для упрощения данного выражения сначала приведем все дроби к общему знаменателю и объединим их в одну дробь.

1) 4ху/(у^2-х^2) : (1/(у^2-х^2) + 1/(х^2+2ху+у^2)) = 4ху/(у^2-х^2) : ((1+у^2-х^2)/(у^2-х^2)) = 4ху/(у^2-х^2) : (у^2 + 1 - х^2)/(у^2-х^2)) = 4ху/(у^2-х^2) * (у^2-х^2)/(у^2 + 1 - х^2) = 4ху/(у^2 + 1 - х^2)

2) (х-2у)/(х^2-2ху) - 1/(х^2-4у^2) : (х+2у)/(2у-х)^2 = ((х-2у)/(х^2-2ху) - 1/(х^2-4у^2)) : ((х+2у)/(2у-х)^2) = ((х-2у)(2у-х) - (х^2-4у^2))/((х^2-2ху)(2у-х)^2) = ((2у^2 - 2ху - 2ху + х^2 - х^2 + 4у^2))/((х^2-2ху)(2у-х)^2) = (2у^2 + 4у^2)/((х^2-2ху)(2у-х)^2) = 6у^2/((х^2-2ху)(2у-х)^2)

Теперь объединим полученные дроби в одно выражение:

(4ху/(у^2 + 1 - х^2)) / (6у^2/((х^2-2ху)(2у-х)^2)) = (4ху/(у^2 + 1 - х^2)) (((х^2-2ху)(2у-х)^2)/6у^2) = (4ху/(у^2 + 1 - х^2)) ((х^2-2ху)(2у-х)^2)/(6у^2) = (4ху/(у^2 + 1 - х^2)) (((х^2-2ху)(2у-х)^2)/(6у^2)) = (4ху/(у^2 + 1 - х^2)) ((2у-х)^2(х^2-2ху))/(6у^2)

Таким образом, после упрощения данного выражения получим: (4ху(2у-х)^2(х^2-2ху))/(6у^2(у^2 + 1 - х^2)).

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить операции с дробями и упростить выражения в скобках.