Упростите: 2sin2a-1/sina+cosa

Чтобы упростить выражение $\frac{2\sin 2a-1}{\sin a+\cos a}$, начнем с преобразования тригонометрических функций, чтобы упростить числитель.

1. Упростим числитель:

   В числителе у нас есть $2\sin 2a-1$. Напомним, что $\sin 2a=2\sin a\cos a$. Подставим это в числитель: $2\sin 2a-1=2(2\sin a\cos a)-1=4\sin a\cos a-1$

2. Числитель теперь: $4\sin a\cos a-1$

3. Рассмотрим знаменатель: В знаменателе у нас $\sin a+\cos a$.

   Попробуем выразить числитель и знаменатель в схожих терминах, чтобы возможно упростить выражение.

4. Проанализируем, можно ли как-то упростить выражение целиком:

   Разделим числитель и знаменатель на $\cos a+\sin a$: $\frac{4\sin a\cos a-1}{\sin a+\cos a}$

5. Внесем внутрь знаменателя множитель вида $\sin a+\cos a$ и посмотрим, что получится: $4\sin a\cos a-1=4\sin a\cos a-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)$ Напомним, что ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$, таким образом: $4\sin a\cos a-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)=4\sin a\cos a-1$

6. Теперь: $\frac{4\sin a\cos a-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)}{\sin a+\cos a}$

7. Разделим числитель на два выражения: $\frac{4\sin a\cos a-{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a}{\sin a+\cos a}$

8. Используем разложение на множители: $\frac{(\sin a+\cos a)(4\sin a\cos a-1)}{\sin a+\cos a}=4\sin a\cos a-1$

9. Окончательный результат: $\boxed{{\displaystyle 4\sin a\cos a-1}}$

Таким образом, выражение $\frac{2\sin 2a-1}{\sin a+\cos a}$ упрощается до $4\sin a\cos a-1$.

Для упрощения данного выражения мы можем использовать формулу двойного угла для синуса: sin$2a$ = 2sin$a$cos$a$.

Итак, подставим данную формулу в выражение: $2sin(a$cos$a$ - 1) / $sin(a$ + cos$a$).

Теперь раскроем скобки в числителе: 2sin$a$cos$a$ - 1 = sin$2a$ - 1.

Подставляем обратно в исходное выражение: $sin(2a$ - 1) / $sin(a$ + cos$a$).

Таким образом, упрощенный вид исходного выражения: $sin(2a$ - 1) / $sin(a$ + cos$a$).