Упростите: 2sin2a-1/sina+cosa

Чтобы упростить выражение ( \frac{2\sin 2a - 1}{\sin a + \cos a} ), начнем с преобразования тригонометрических функций, чтобы упростить числитель.

1. Упростим числитель:

   В числителе у нас есть ( 2\sin 2a - 1 ). Напомним, что ( \sin 2a = 2\sin a \cos a ). Подставим это в числитель: [ 2\sin 2a - 1 = 2(2\sin a \cos a) - 1 = 4\sin a \cos a - 1 ]

2. Числитель теперь: [ 4\sin a \cos a - 1 ]

3. Рассмотрим знаменатель: В знаменателе у нас ( \sin a + \cos a ).

   Попробуем выразить числитель и знаменатель в схожих терминах, чтобы возможно упростить выражение.

4. Проанализируем, можно ли как-то упростить выражение целиком:

   Разделим числитель и знаменатель на (\cos a + \sin a): [ \frac{4\sin a \cos a - 1}{\sin a + \cos a} ]

5. Внесем внутрь знаменателя множитель вида (\sin a + \cos a) и посмотрим, что получится: [ 4\sin a \cos a - 1 = 4\sin a \cos a - (\sin^2 a + \cos^2 a) ] Напомним, что (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), таким образом: [ 4\sin a \cos a - (\sin^2 a + \cos^2 a) = 4\sin a \cos a - 1 ]

6. Теперь: [ \frac{4\sin a \cos a - (\sin^2 a + \cos^2 a)}{\sin a + \cos a} ]

7. Разделим числитель на два выражения: [ \frac{4\sin a \cos a - \sin^2 a - \cos^2 a}{\sin a + \cos a} ]

8. Используем разложение на множители: [ \frac{(\sin a + \cos a)(4\sin a \cos a - 1)}{\sin a + \cos a} = 4\sin a \cos a - 1 ]

9. Окончательный результат: [ \boxed{4\sin a \cos a - 1} ]

Таким образом, выражение ( \frac{2\sin 2a - 1}{\sin a + \cos a} ) упрощается до ( 4\sin a \cos a - 1 ).

Для упрощения данного выражения мы можем использовать формулу двойного угла для синуса: sin(2a) = 2sin(a)cos(a).

Итак, подставим данную формулу в выражение: (2sin(a)cos(a) - 1) / (sin(a) + cos(a)).

Теперь раскроем скобки в числителе: 2sin(a)cos(a) - 1 = sin(2a) - 1.

Подставляем обратно в исходное выражение: (sin(2a) - 1) / (sin(a) + cos(a)).

Таким образом, упрощенный вид исходного выражения: (sin(2a) - 1) / (sin(a) + cos(a)).