Упростить выражение: а)cos^2t*tg^2t-sin^2t*cos^2t б)1-сos^2+tg^2t*cos^2t в)(1-sin^2t)*(tg^2t+1) г)(1-cos^2t)*(ctg^2t+1)

Давайте упростим каждое из данных выражений, используя тригонометрические тождества.

а) (\cos^2 t \cdot \tan^2 t - \sin^2 t \cdot \cos^2 t)

Для начала напомним, что (\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}), поэтому (\tan^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}). Подставим это в первое выражение:

[ \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} - \sin^2 t \cdot \cos^2 t = \sin^2 t - \sin^2 t \cdot \cos^2 t ]

Вынесем (\sin^2 t) за скобки:

[ \sin^2 t (1 - \cos^2 t) ]

Используя основное тригонометрическое тождество (1 - \cos^2 t = \sin^2 t), получаем:

[ \sin^4 t ]

б) (1 - \cos^2 t + \tan^2 t \cdot \cos^2 t)

Здесь снова используем (\tan^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}). Подставим:

[ 1 - \cos^2 t + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \cos^2 t = 1 - \cos^2 t + \sin^2 t ]

По основному тригонометрическому тождеству (1 - \cos^2 t = \sin^2 t), следовательно:

[ \sin^2 t + \sin^2 t = 2\sin^2 t ]

в) ((1 - \sin^2 t) \cdot (\tan^2 t + 1))

Опять используем (1 - \sin^2 t = \cos^2 t). Подставим это в выражение:

[ \cos^2 t \cdot (\tan^2 t + 1) ]

Подставим (\tan^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}):

[ \cos^2 t \cdot \left(\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 1\right) = \cos^2 t \cdot \left(\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\cos^2 t}\right) ]

По основному тригонометрическому тождеству (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), поэтому:

[ \cos^2 t \cdot \frac{1}{\cos^2 t} = 1 ]

г) ((1 - \cos^2 t) \cdot (\cot^2 t + 1))

Используя (1 - \cos^2 t = \sin^2 t), подставим в выражение:

[ \sin^2 t \cdot (\cot^2 t + 1) ]

Подставим (\cot^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}):

[ \sin^2 t \cdot \left(\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1\right) = \sin^2 t \cdot \left(\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin^2 t}\right) ]

Снова используем (\cos^2 t + \sin^2 t = 1), получаем:

[ \sin^2 t \cdot \frac{1}{\sin^2 t} = 1 ]

Таким образом, упрощённые выражения: а) (\sin^4 t) б) (2\sin^2 t) в) (1) г) (1)

а) cos^2ttg^2t - sin^2tcos^2t = cos^2tsin^2t - sin^2tcos^2t = sin^2tcos^2t - sin^2tcos^2t = 0

б) 1 - cos^2t + tg^2tcos^2t = 1 - cos^2t + sin^2t/cos^2t cos^2t = 1 - cos^2t + sin^2t = 1

в) (1 - sin^2t) (tg^2t + 1) = cos^2t (tg^2t + 1) = cos^2t * (sin^2t/cos^2t + 1) = sin^2t + cos^2t = 1

г) (1 - cos^2t) (ctg^2t + 1) = sin^2t (ctg^2t + 1) = sin^2t * (cos^2t/sin^2t + 1) = cos^2t + sin^2t = 1

Таким образом, упрощенные выражения: а) 0 б) 1 в) 1 г) 1

а) tg^2t б) 1 в) ctg^2t г) -1